можно ли поменять оператора сотовой связи, не меняя номер телефона?

нет!

Можно ли поменять марку машины, не меняя самой машины?)

можно-заявление пишешь о сохранении номера старому оператору и новому.

Вы слышали про то, что первые три цифры номера определяют оператора?
По крайней мере поэтому.
Знаете, это все равно, что блондинка решит стать брюнеткой, не используя краску