Может ли график функции не существовать в первой производной и существовать во второй?

Думаю, что сначала надо рассмотреть что такое производная. В математике ее определяют как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Т. е. для того чтобы взять производную в некоторой точке x0 нужно найти отношение [f(x)-f(x0)]/[x-x0], когда x расположена как можно ближе к точке x0. Теперь, исходя из этого определения, можно рассмотреть варианты, когда такое отношение не существует.

Но сначала посмотрим, что будет для «хороших» функций, для которых все-таки производная в точке x0 существует. Для них возникает такая интересная вещь, что с некоторого расстояния приближение точки x к точке x0 перестает влиять на величину искомого отношения и значит, что данное отношение и определяет производную.

Теперь глядя на нашу формулу можно сразу выявить два типа «плохих» функций, для которых в точке x0 производная будет отсутствовать. Первым типом таких «плохих» функций будут те, которые не определены в окрестности точки x0. Т. е. область определения функции не включает в себя окрестность точки x0. Понятно, что для таких функций мы не сможем приблизиться к точке x0 как угодно близко. Примером такой функции будет ln(|x|-1). Она не определена в области -11). Понятно, что в точке x0=1 производная не определена.

Оба этих типа «плохих» функций называются разрывные функции.

Существует и третий тип разрывных функций, у которых производная в некоторой точке не существует. Такие функции похожи на первый тип, но в отличие от них они неопределенны только в одной точке x0, а в ее окрестности будет все в порядке. Тогда говорят, что точка x0 выколота. Примером такой функции будет функция 1/x. Она не имеет производную в окрестности точки x0=0, поскольку и сама функция, и ее производная в этой точке будут равны бесконечности, а значит и не определены в области действительных чисел.

Чтобы рассмотреть четвертый тип «плохих» функций, которые не являются разрывными нужно определить понятие правой и левой производной. Конечно можно и без них, но мне кажется, что так будет нагляднее.

Итак, если для первого и третьего типов мы ничего не можем сделать в точке x0, то для второго типов мы можем определить так называемые правые и левые производные. Для их определения надо чуть-чуть изменить нашу формулу на такую: [f(x2)-f(x1)]/[x2-x1]. Здесь точки x1 и x2 будут приближаться к точке x0 слева (левая производная) или справа (правая производная)

Так вот четвертым типом будут функции, которые непрерывны, но производная слева и производная справа не будут равны друг другу. В точке x0 такие функции имеют излом (угол) . Примером такой функции будет функция модуля, т. е. y=|x|. Она имеет излом в точке x0=0

Кажется, что это все возможные типы функций, у которых не существует производная, хотя мог что-нибудь и пропустить.

P.S. Какие-то проблемы с отображением математических знаков.