Может ли график функции не существовать в первой производной и существовать во второй?

Думаю, что сначала надо рассмотреть что такое производная. В математике ее определяют как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Т. е. для того чтобы взять производную в некоторой точке x0 нужно найти отношение [f(x)-f(x0)]/[x-x0], когда x расположена как можно ближе к точке x0. Теперь, исходя из этого определения, можно рассмотреть варианты, когда такое отношение не существует.

Но сначала посмотрим, что будет для «хороших» функций, для которых все-таки производная в точке x0 существует. Для них возникает такая интересная вещь, что с некоторого расстояния приближение точки x к точке x0 перестает влиять на величину искомого отношения и значит, что данное отношение и определяет производную.

Теперь глядя на нашу формулу можно сразу выявить два типа «плохих» функций, для которых в точке x0 производная будет отсутствовать. Первым типом таких «плохих» функций будут те, которые не определены в окрестности точки x0. Т. е. область определения функции не включает в себя окрестность точки x0. Понятно, что для таких функций мы не сможем приблизиться к точке x0 как угодно близко. Примером такой функции будет ln(|x|-1). Она не определена в области -1