Арифметические и геометрические прогрессии

Арифметическая прогрессия
Определение 1. Числовая последовательность (an)n Î N называется арифметической прогрессией, если существует действительное число d (называемое разностью прогрессии), такое, что an+1 - an = d, ("n Î N) (1)
то есть, каждый член последовательности (начиная со второго) равен предыдущему плюс одно и то же число (разность прогрессии).

Пример 1. Проверить, являются ли данные последовательности арифметическими прогрессиями

a) an = 2n - 1, b) 3, 6, 9, ..., 3k, ... c) an = 1/n.
Решение. a) Разность an+1 - an является постоянным числом для любого n Î N

an+1 - an = 2(n + 1) - 1 - (2n - 1) = 2
следовательно, последовательность, заданная общим членом an = 2n - 1, является арифметической прогреcсией c разностью 2:
1, 3, 5, ..., 2n - 1, ...
b) Аналогично решению примера a), получим

an+1 - an = 3(n + 1) - 3n = 3, ("n Î N)
и, следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью 3.
c) Выпишем первые три члена последовательности a1 = 1, a2 = 1/2, a3 = 1/3 и заметим, что a2 - a1 = -1/2 ≠ a3 - a2 = -1/6, то есть, данная последовательность не образует арифметическую прогрессию.

Иначе, рассматривая разность , заметим, что она зависит от n (не является постоянным числом) и, следовательно, данная последовательность не является арифметической прогрессией.


Свойства арифметической прогрессии
Доказательства приведенных ниже свойств можно найти, например, в [1].

P1. Общий член арифметической прогрессии an определяется по формуле an = a1 + (n - 1)d, (2)
где a1 - первый член прогрессии, d - ее разность.

P2. (Характеристическое свойство арифметической прогрессии). n-ый член арифметической прогрессии является средним арифметическим равноудаленных от него членов прогрессии: an-k + an+k = 2·an, (3)


Замечание. Из свойства P2 следуют необходимые и достаточные условия:

a) три числа a, b, c (в указанной очередности) образуют арифметическую прогрессию, если 2b = a + b, (4)


b) три числа a, b, c (независимо от очередности) образуют арифметическую прогрессию, если (2b - a - c)(2c - a - b)(2a - b - c) = 0. (5)
P3. Если a1, a2, ..., an, ... - арифметическая прогрессия и k + n = m + p (k,n,m,p Î N), то
ak + an = am + ap. (6)


P4. Сумма Sn первых n членов арифметической прогрессии равна (7)
или, учитывая (2) (8)


Определение 2. Арифметическая прогрессия называется возрастающей (убывающей если ее разность - положительное (отрицательное) число. Если разность прогрессии равна нулю, имеем постоянную последовательность.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 2. Определить арифметическую прогрессию, если a3 = 2 и a5 = -2.

Решение. Используя формулу общего члена арифметической прогрессии, получим систему

a3 = a1 + 2d,
a5 = a1 + 4d,

или, учитывая условия примера,
a1 + 2d = 2,
a1 + 4d = -2,

откуда находим первый член арифметической прогрессии a1 = 6 и ее разность d = -2.
Пример 3. Определить число x, если числа a - x, x, b (a, b даны) в указанной последовательности образуют арифметическую прогрессию.

Решение. Используя характеристическое свойство арифметической прогрессии, получим линейное уравнение

2x = a - x + b,
откуда
Пример 4. Определить арифметическую прогрессию, сумма первых n членов которой определяется по формуле

Sn = 3n2 + 6n (n ≥ 1).
Решение. Поскольку сумма первых (n - 1) членов прогрессии равна

Sn-1 = 3(n - 1)2 + 6(n - 1) = 3n2 - 3, (n ≥ 2)
и Sn - Sn-1 = an, следует, что
an = 3n2 + 6n - 3n2 + 3 = 6n + 3.
Последовательно подставляя в формулу n-ого члена n = 1,2,3,..., получим a1 = 9, a2 = 15, a3 = 21, ...

Пример 5. Определить сумму первых девятнадцати членов арифметической прогрессии a1, a2, a3, ..., если

a4 + a8 + a12 + a16 = 224.
Решение. Заметим, что 4 + 16 = 8 + 12 и, следовательно, (см. (6)) a4 + a16 = a8 + a12. Учитывая, что сумма этих членов равна 224, найдем, что a4 + a16 = 112.

Поскольку (см. (7)) и a1 + a19 = a4 + a16 = 112 (1 + 19=4 + 16), то


Пример 6. При каких значениях параметра a существуют такие значения переменной x, чтобы числа

51+x + 51-x, a/2, 25x + 25-x
являлись последовательными членами арифметической прогрессии?
Решение. Согласно характеристическому свойству арифметической прогрессии, получим уравнение

a = 51+x + 51-x + 25x + 25-x.
Заметим, что при a ≤ 0 уравнение не имеет решений (правая часть, как сумма положительных чисел, есть положительное число).

Поскольку ax + y = ax·ay, (a > 0, a ≠ 1), уравнение примет вид


Обозначим t ≥ 2 (сумма двух взаимно обратных положительных чисел). Тогда


и уравнение примет вид
t2 + 5t - (a + 2) = 0.
Положительный корень этого уравнения должен быть больше или равен 2 (данное уравнение имеет два различных противоположных по знаку корня, поскольку при a > 0 имеем -(a+2) < 0 и коэффициент при t2 положителен), для чего достаточно, чтобы

-b/2a < 2,
f(2) ≤ 0,
или -5/2 < 2,
4 + 10 - (a + 2) ≤ 0,
откуда a ≥ 12.

Пример 7. Определить сумму всех четных трехзначных чисел, делящияся на 3.

Решение. Первым четным трехзначным числом, делящимся на 3, является 102. Поскольку четное число, делящееся на 3, делится и на 6, получим прогрессию

102, 108, 114, ..., 996,
где a1 = 102, d = 6 и последний ее член ax = 996 (x Î N).
Поскольку ax = a1 + (x - 1)d или

102 + (x - 1)·6 = 996,
находим x = 150. Тогда, используя формулу (7), получим

Пример 8. Пусть Sn, Sm и Sp - соответственно суммы первых n, m и p членов арифметической прогрессии a1, a2, a3, ... Показать, что (9)


Решение. Использем формулу (8), тогда равенство (9) примет вид


или
2a1[m - p + p - n + n - m] + [(n - 1)(m - p) + (m - 1)(p - n) + (p - 1)(n - m)]d = 0.
Поскольку

(n - 1)(m - p) + (m - 1)(p - n) + (p - 1)(n - m) =
= nm - np - m + p + mp - mn - p + n + pn - pm - n + m = 0

получим:
2a1·0 + 0·d = 0, то есть, 0 = 0,
и, следовательно, равенство доказано.

Пример 9. Определить числа, являющиеся одновременно членами арифметической прогрессии, 2, 5, 8, ..., 332 и 7, 12, 17, ..., 157.

Решение. Пусть b - n-ый член первой прогрессии, следовательно, b = 2 + (n - 1)·3 и, в то же время, b является m-ым членом во второй прогрессии, то есть, b = 7 + (m - 1)·5. Таким образом, получим уравнение

2 + (n - 1)·3 = 7 + (m - 1)·5,
или
3(n - 1) = 5m
откуда, учитывая, что m, n - натуральные числа, получим n = 5k + 1 и m = 3k, k Î N, то есть, члены a6, a11, a16, ..., a5k+1 первой прогрессии совпадают с членами c3, c6, c9, ..., c3k, второй прогрессии. Таким образом, числа 17, 32, 47, 62, 77, 92, 107, 122, 137 и 152 входят в обе прогрессии.
Пример 10. Сумма трех положительных чисел равна p/2. Найти произведение ctga· ctgg если известно, что ctga, ctgb, ctgg образуют арифметическую прогрессию.

Решение. Используя характеристическое свойство арифметической прогрессии, получим

2ctgb = ctga + ctgg.
Поскольку a + b + g = p/2 влечет b = p/2 - (a + g), используя формулу приведения ctg(p/2 - x) = tgx получим
2tg(a + b) = ctga + ctgb,
используя формулу тангенса двойного угла, имеем

откуда

Учитывая, что a, b и g - положительные числа, сумма которых равна p/2 (tgatgg ≠ 1, tga ≠ 0, tgg ≠ 0), получим
2tgatgg = 1 - tgatgg
откуда следует, что tgatgg = 1/3 и, следовательно, ctgactgg = 3.
Пример 11. Пусть x1 и x2 - корни уравнения x2 + px + q = 0. Определить p и q, если известно, что q, x1, p, x2 (в данной очередности) образуют возрастающую арифметическую прогрессию.

Решение. Используя характеристическое свойство арифметической прогрессии и теорему Виета, получим систему

2x1 = q + p,
2p = x1 + x2,
x1 + x2 = -p,
x1x2 = q,

решения которой
q = -4,
x1 = -2,
p = 0,
x2 = 2,
и q = 0,
x1 = 0,
p = 0,
x2 = 0


По условию, арифметическая прогрессия - возрастающая и, следовательно, квадратное уравнение, удовлетворяющее условиям задачи, есть x2 - 4 = 0 (p = 0, q = -4).

Пример 12. Определить первые три члена убывающей арифметической прогрессии, если известно, что a1 + a3 + a5 = -24 и a1a3a5 = 640.

Решение. Используя свойство P3, находим a3 = -8, затем получим систему

a1 + a5 = -16,
a1a5 = -80,

решения которой a¢1 = -20, a¢5 = 4 и a¢¢1 = 4, a¢¢5 = -20. Поскольку прогрессия - убывающая (d < 0), остается a1 = 4 и a5 = -20. Используя свойство P3, получим Таким образом, первыми тремя членами данной прогрессии являются 4, -2 и -8.

Геометрическая прогрессия
Определение 2. Числовая последовательность (bn)n Î N называется геометрической прогрессией, если существует действительное число q, называемое знаменателем прогрессии, такое, что

bn+1 = bn·q, ("n Î N)
то есть, каждый член последовательности (начиная со второго) равен предыдущему, умноженному на одно и то же число (знаменатель прогрессии).
Следующие последовательности являются геометрическими прогрессиями:

2, 4, 8, ..., 2n, ... здесь b1 = 2 и q = 2,
3, -1, 1/3, -1/3,... здесь b1 = 3 и q = -1/3,
a, a, a, ... здесь b1 = a и q = 1,
a, 0, 0, ... здесь b1 = a и q = 0

Заметим, что, если один из членов геометрической прогрессии равен нулю, то тогда либо b1 = 0, либо q = 0.


Свойства геометрической прогрессии
P5. Формула n-го члена геометрической прогрессии: bn = b1·qn-1, ("n Î N). (11)


P6. (Характеристическое свойство геометрической прогрессии). Квадрат n-го члена геометрической прогрессии равен произведению равноудаленных от него членов: (12)
В частном случае, для трех последовательных членов геометрической прогрессии (13)


Замечание. Формулы (12), (13) можно записать и следующим образом: (14)
(15)
то есть, модуль n-го члена геометрической прогрессии есть среднее геометрическое равноудаленных от него членов. В случае прогрессии с положительными членами n-ый член является средним геометрическим равноудаленных от него членов (16)


P7. Если k + n = m + p (k, n, m, p Î N), тогда bk·bn = bm·bp, (17)
где bk, bn, bm, bp - члены геометрической прогрессии b1, b2, ....

P8. Числа a, b, c (не обязательно в указанной очередности) образуют геометрическую прогрессию, если и только если удовлетворяют равенству (a2 - bc)(b2 - ac)(c2 - ab) = 0, (18)
а числа a, b, c (в указанной очередности) образуют геометрическую прогрессию, если и только если

b2 = ac.
P9. Сумма Sn первых n членов геометрической прогрессии определяется по формуле (19)
где b1 - первый член прогрессии, q - её знаменатель, bn - n-ый член прогрессии.

Если q = 1, то Sn = b1·n. (20)


P10. Сумма S всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии (|q| < 1) определяется по формуле (21)


Доказательства свойств P5-P10 можно найти, например, в [1].

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 13. Произведение первых трех членов геометрической прогрессии равно 1728, а их сумма равна 63. Найти первый член и знаменатель этой прогрессии.

Решение. Пусть b1, b2 и b3- первые три члена данной прогрессии. Тогда из условия b1b2b3 = 1728 следует (см. (12 )) и b2 = 12. Следовательно,

b1b3 = 144,
b1 + b3 = 51,

Решения данной системы (см. обратную теорему Виета) является также корнями квадратного уравнения
z2 - 51z + 144 = 0.
Решая квадратное уравнение, получим z1 = 3 и z2 = 48, то есть, b1 = 3, b3 = 48 или b1 = 48, b3 = 3. Поскольку b1 = 3, b2 = 12 или b1 = 48 и b2 = 12, получим q = 4 или q = 1/4. Таким образом, решеними задачи будут b1 = 3 и q = 4 или b1 = 48 и q = 1/4.
Пример 14. В геометрической прогрессии с положительными членами (m + n)-ый член равен p, а (m - n)-ый член (m > n) равен s. Найти члены порядка m и n.

Решение. Поскольку (см. (11))


то , и, поскольку bm > 0, получим
Согласно условиям и формуле (10), получим

b1qm+n-1 = p,
b1qm-n-1 = s,

откуда и, следовательно, Поскольку
b1qm+n-1 = b1qn-1·qm = bn·qm = p,
следует, что

Пример 15. Вычислить сумму


Решение. Имеем



или
9/7·Sn = (10 - 1) + (100 - 1) + (103 - 1) + ... + (10n - 1),
откуда
9/7·Sn = (10 + 102 + 103 + ... + 10n) - n.
Заметим, что в скобках - сумма первых n членов геометрической прогрессии с первым членом b1 = 10 и знаменателем q = 10. Используя формулу (19), получим
,
откуда

Пример 16. Доказать, что числа 9, 10 и 11 не могут являться членами одной геометрической прогрессии.

Решение. Пусть данные числа являются членами геометрической прогрессии с первым членом b1 и знаменателем q. Тогда 9 = b1qk-1, 10 = b1qn-1 и 11 = b1qm-1, откуда следует


Таким образом,
,
откуда

Поскольку m, n, k - различные натуральные числа, данное равенство ложно, и, следовательно, 9, 10 и 11 не могут быть членами одной геометрической прогрессии.
Пример 17. Числа a, b, c, d образуют геометрическую прогрессию. Показать, что (a - c)2 + (b - c)2 + (b - d)2 = (a - d)2.

Решение. Преобразуем левую часть равенства:

A = a2 - 2ac + c2 + b2 - 2bc + c2 + b2 - 2bd + d2.
Так как b2 = ac, c2 = bd и bc = ad (см. (12) и (17)), то
A = a2 - 2b2 + c2 + b2 - 2bc + c2 + b2 - 2c2 + d2 = a2 - 2bc + d2 = a2 - 2ad + d2 = (a - d)2.
Пример 18. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4, а сумма их кубов равна 192. Найти пятый член последовательности.

Решение. Пусть b1 и q - соответственно первый член и знаменатель данной геометрической прогрессии. Тогла |q| < 1 и


Заметим, что кубы членов исходной прогрессии образуют, в свою очередь, бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем q3. Действительно, поскольку то Следовательно,

Из первого уравнения находим b1 = 4(1 - q) и подставляем во второе уравнение системы:

откуда (поскольку (|q| < 1) следует уравнение
(1 - q)2 = 3(1 + q + q2)
или
2q2 + 5q + 2 = 0
решения которого q1 = -2 и q2 = -1/2. Поскольку |q| < 1, остается q = -1/2 и, следовательно, b1 = 6. Используя формулу n-го члена геометрической прогрессии, получим

Пример 19. Решить уравнения


Решение. Заметим, что числитель левой части уравнения представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом b1 = 1 и знаменателем q1 = tgx, а знаменатель левой части - сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем (-tgx). Поскольку |tgx| < 1, уравнение переписывается следующим образом:


или

Поскольку а уравнение примет вид
,
откуда следует совокупность

или

Поскольку |tgx| < 1, остается x = pn, n Î Z.

Смешанные задачи
Пример 20. Определить числа a, b и c, если известно, что a, b, c - три последовательных члена геометрической прогрессии; a, b + 2, c образуют арифметическую прогрессию, а числа iar a, b + 2, c + 9 - геометрическую прогрессию.

Решения. Используя характеристические свойства геометрической и арифметической прогрессии, получим следующую систему:

b2 = ac,
2(b + 2) = a + c,
(b + c)2 = a(c + 9),

откуда a = 4, b = 8, c = 16 или и
Пример 21. Доказать, что если положительные числа a, b и c являются соответственно членами m, n и p-го порядка арифметической прогрессии a1, a2, ... и геометрической прогрессии b1, b2, ..., то ab-c·bc-a·ca-b = 1.

Решение. Согласно условиям a = a1 + (m - 1)d,
b = a1 + (n - 1)d,
c = a1 + (p - 1)d,
(22)
где a1 и d - соответственно первый член и разность арифметической прогрессии.

Из равенства (22) следует b - c = (n - p)d, c - a = (p - m)d и a - b = (m - n)d. (23)
В то же время a = b1qm-1, b = b1qn-1, c = b1qp-1, (24)
где b1 и q - соответственно первый член и знаменатель геометрической прогрессии.

Используя (23) и (24), получим


Пример 22. Определить треугольник, длины сторон которого образуют геометрическую прогрессию, а величины внутренних углов - арифметическую прогрессию.

Решение. Пусть a, b, g - внутренние углы треугольника, противоположные сторонам a, b и c. Поскольку a + b + g = 180° и a = b - d, g = b + d, где d - разность арифметической прогрессии, получим

b - d + b + b + d = 180°
откуда b = 60°.
Согласно теореме косинусов,

b2 = a2 + c2 - 2accosb.
Поскольку b2 = ac и cosb = 1/2, то
ac = a2 + c2 - ac
откуда a2 - 2ac + c2 = 0 или (a - c)2 = 0 и a = c.
Следовательно, получим равнобедренный треугольник (a = c) с углом при вершине в 60°, то есть, равносторонний треугольник.

Пример 23. Последовательность положительных чисел a1, a2, ..., an, ... образует арифметическую прогрессию, а последовательность b1, b2, ..., bn, ... - геометрическую прогрессию. Доказать, что для любого натурального n, n > 2

an < bn,
если a1 ≠ a2, a1 = b1 и a2 = b2.
Решение. Пусть d - разность арифметической прогрессии, q - знаменатель геометрической прогрессии. Поскольку a1 = b1 и a2 = b2, получим

a1 + d = a1·q,
откуда и d = a1(q - 1) > 0. Следовательно,
an = a1 + (n - 1)d = a1 + (n - 1)a1(q - 1) = a1(1 + (n - 1)(q - 1))
bn = b1qn-1 = a1qn-1

и необходимо доказать неравенство
a1(1 + (n - 1)(q - 1)) < a1qn-1
или, так как a1 > 0,
1 + (n - 1)(q - 1) < qn-1.
Последнее неравенство непосредственно следует из неравенства Бернулли (см. "Принцип математической индукции" или "Неравенства").
Другой способ. Рассмотрим разность


(было учтено, что есть сумма первых n - 2 членов геометрической прогрессии с b¢1 = 1 и q¢ = q).
Поскольку q > 1, qk > 1, k Î N, получаем

1 + q + q2 + ... + qn-2 - (n - 1) > 0
а произведение (1 - q)(1 + q + q2 + ... + qn-2 - (n - 1)) < 0. Следовательно, и 1 + (n - 1)(q - 1) - qn-1 < 0, то есть, an < bn, n > 2.
Пример 24. Определить те прогрессии, которые одновременно является и арифметическими и геометрическими.

Решение. Пусть a1, a2, ..., an, ... - арифметическая и геометрическая прогрессия. Тогда 2ak+2 = ak+1 + ak+3, или 2a1qk+1 = a1qk + a1qk+2, или a1qk - 2a1qk+1 + a1qk+2 = 0, откуда получим:

a1qk(1 - 2q + q2) = 0, a1qk(1 - q)2 = 0.
Следовательно, если a1q ≠ 0, то q = 1, и искомая прогрессия представляет собой постоянную последовательность a1, a1, ..., a1, ... (d = 0, q = 1).

Если a = 0, получим 0, 0, ..., 0, ... (d = 0, q Î R), а если q = 0, a ≠ 0 - решений нет.

. арифметическая -каждый член, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и постоянного числа d (шаг арифметической прогрессии) -a = a+ (n-1) d
. геометрической - все члены ОТЛИЧНЫ ОТ НУЛЯ, и каждый член, начиная со второго. получается из предидущего члена умножением на постоянное число q ( знаменатель геометрической прогрессии) от Ван Гог

В геометрическом аспекте, можно доказать теорему того, что зарплаты Россиянина достаточно, чтоб себе ни в чем не отказывать. А арифметически понятно, что отказывать себе кое в чем просто необходимо))))

А Х.. знает! Зато меня посещает мысль: Кто самый умный у нас в России? Вассерман? Друзь!? Неее, самый умный у нас в стране Х..., потому как он только все знает!:)

во занулИзвини -не на столько умная,что б ответить.Не математик.

Арифметическая прогрессия - 1+2+3+4+...........

Что больше, причина или следствие...

Я ТАКОЙ-ДВОЕШНИК...ПРОСТО-КАРАУЛ!!!

Честно понятия не имею.

Ой я в этом дуб дубом...