Могут ли применить административный штраф к человеку, работающему на должности только неделю?

могут,
в законе нет статьи отсрочки вынесения наказания в виду недавнего устройства на работу,
штраф это одна из мер наказания, до штрафа есть замечание, выговор, выговор с занесением, штраф и т. д. а мера определения наказания это уж на совести вашего работодателя.