Задачка по матану: В полушар радиуса R вписать прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием наибольшего объема.

1) Центр квадрата должен совпадать с центром полусферы. Если это не так, то тогда не все вершины верхнего основания параллелепипеда будут лежать на полусфере, а значит параллелепипед можно сдвинуть и увеличить его высоту, увеличив тем самым и объем.

2) Пусть длина стороны квадрата равна t.
Диагональ квадрата равна sqrt(2) t. Тогда по теореме Пифагора высота вписанного параллелепипеда будет равна
h=sqrt(R^2-t^2 / 2)

3) Объем параллелепипеда равен
V=h t^2 = sqrt(R^2-t^2 / 2) t^2

4) Чтобы решить задачу, надо найти максимум функции
V= sqrt(R^2-t^2 / 2) t^2, когда t изменяется в пределах от 0 до R/sqrt(2)

Ответ: sqrt(3)/4 R^3