Найдите высоту и радиус основания прямого кругового цилиндра наибольшего объема, вписанного в шар радиусом R

Если цилиндр вписан в сферу радиуса R,
то его высота h и радиус основания r связаны соотношением
h^2 + 4r^2 = 4R^2,
чтобы это увидеть, надо провести сечение плоскостью, проходящей через центр сферы вдоль высоты цилиндра.

А объем цилиндра равен
V= п r^2 h.

Поэтому задача сводится к нахождению максимума функции V(r,h)= п r^2 h при условии h^2 + 4r^2 = 4R^2. Это задача на условный экстремум.