⇢ Va
Valentina
Ва
Вася
Как знаем, если u и v - функции, то (uv)'=u'v+uv'. Из этого можем узнать, что u'v=uv-uv'.
Один из способов решения интералов - если есть какая-то жуткая функция, которая непонятно как интегрируется, но её дифференциал прост - то к подинтегральному выражению приписываем множитель (x)' - который суть 1. А дальше пользуемся формулой (метод интегрирования по частям) int [ uv' ]=uv-int [u'v ]
В нашем случае:
int [0 2] [ ln(x^2+4) ] dx =
int [0 2] [ (x)' * ln(x^2+4) ] dx =
[0 2] [ x * ln(x^2+4) ] - int [0 2] [ x * (ln(x^2+4))' ] dx =
теперь подставляем значения в первое выражение и пользуемся формулой (ln u)' = u'/u:
2 * ln (2^2+4) - int [0 2] [ x * (2*x / (x^2+4) ) ] dx =
2*ln 8 - int [0 2] [ 2 * x^2/(x^2+4) ] dx =
6*ln 2 - 2*int [0 2] [ 1 - 4/(x^2+4) ] dx =
теперь пользуемся формулой для интерграла int [ 1/(x^2+a^2)=1/a * arctg (x/a) - у нас a=2
6*ln 2 - 4 + 2*4*(1/2)*( [0 2] [arctg x/2] ) = 6*ln 2 - 4 + 4 * pi/4 ~= 3.3
Чтобы удовлетворить свою совесть, нужно: обстоятельно изучить данное решение, а не просто его списать, и решить хотя бы пару примеров самостоятельно.
Похожие вопросы