Подскажите почему может не работать втягивающая и стартер на ваз (21013)?

Скорей всего реле стартера. Но на 13й его могло и не быть, там на замке зажигания контакты.
Проверить легко. Подай проволокой + с аккумулятора на втягивающее если заработало, то реле или замок.

соедини 2 болта на стартере гаечным ключом при включенном зажигании. Если крутит, то меняй втягивающее или реле стартера, если нет то реле, замок зажигания или провода проверь. Кстати когда включаешь стартер слышно как щелкает реле (тихо) , а стартер посильнее.