Должна ли организация сделать запись в трудовую книжку

Нет. Только если заключен трудовой договор.
Если Вы заключите договор подряда со строителями, которые должны Вам крышу перекрыть на даче, Вы же не будете вносить запись в их трудовые книжки (даже если они нигде при этом не работают) .
С Вами заключен обычный договор услуг, который организация по окончания срока его действия может расторгнуть. И отпуск Вам также не положен. И больничный. И НДФЛ Вы сами за себя должны перечислить. И вообще Вы в штате не числитесь.

После добавлений.
В таком случае Вам надо просить работодателя заключить с Вами трудовой договор. Иначе, до увольнения, жалуйтесь в трудовую инспекцию, в случае увольнения - в суд. Т. е. Вам надо доказывать, что Вы выполняете работу в соответствии с распоряжениями руководства, т. е. не сами решаете, как лучше выполнить задание, доказывать документально, что Вы работаете по их распорядку дня (отмечаетесь, например, в журнале) и пр.