Чем отличается Некоммерческое образовательное учреждение от Частного?

Некоммерческое - не должно приносить прибыль.
Должны сводить баланс за счёт спонсоров, взносов за учёбу и т. п.
Но не платит налоги, или платит не все и с льготами.

Частное - форма собственности. Может быть и прибыльным, и некоммерческим. Хотите прибыли - нет смысла делать некоммерческое. разве что оно будет теневым.