к какой части речи относится слово слышно?

Вне контекста, то есть вне предложения частеречную принадлежность слова СЛЫШНО определить невозможно, так как существуют омоформы (грамматические омонимы).

Это может быть:
● краткая форма единственного числа среднего рода ПРИЛАГАТЕЛЬНОГО (начальная форма – СЛЫШНЫЙ): Гудение самолёта хорошо слышно (гудение каково? слышно);



● наречие: Голос мальчика звучал чуть слышно (звучал как? слышно);
● слово категории состояния: Мне слышно, как поют птицы на рассвете (как? каково? слышно).



В словарях у слов категории состояния указывается не частеречная принадлежность, а синтаксическая функция: «в значении сказуемого» «в функции безличного сказуемого».