Может ли гос служащий работать на второй работе если с ним заключают на ней трудовой договор?

Может.
ТК РФ это не запрещает.

У госслужащих есть ограничения на работу по-совместительству и получение доп. дохода, они
не имеют права заниматься иной деятельностью (в том числе предпринимательской) ЗА ИСКЛЮЧЕНИЕМ научной и педагогической.