Почернели веточки туи. Что это может быть и как с этим бороться?

Именно почернели или все же побурели?
Если побурели, то вариантов этой напасти несколько, за исключением указанного в верхнем ответе - туя может получить солнечный ожог, как правило, ранней весной, когда на солнце уже жарко, плюс отражение от снега, а корни не работают в мерзлой земле. Итак, варианты побурения хвои - различные грибковые заболевания, особенно опасно Шютте http://dachadecor.ru/chvoyniki/bolezni-chvoynich-rasteniy-shiutte-rzhavchinnie-zabolevaniya-profilaktika (обрабатывать фунгицидами) и насекомые (обрабатывать инсектицидами).
Если побеги именно почернели. Вот так

то это скажите "спасибо" собачкам. Такое почернение в принципе не опасно, но следите, если есть возможность, чтобы питомцы не поднимали лапку на тую, как впрочем и на другие хвойные растения.