В первой половине дня нужно попасть в Матвеев Курган из Донецка, во второй половине дня - назад. Подскажите. кто знает.

Обычно по такому маршруту ездят так:
От Донецка автобусом до Амвросиевки, от Амвросиевки другой автобус до границы, пешком перейти границу, оттуда ростовской электричкой или таганрогским автобусом до Матвеева Кургана. Но это долго, учитывая, что первый автобус от "Мотеля уходит" только в 6 утра.
Первый автобус на Донецк уходит от "Мотеля" в 7:00, в Амвросиевке он в 8:20, автобус на Успенку в 9:20, ехать минут 40. Пока перейдёте границу, в лучшем случае успеете на электричку на 12:37 МСК, в М.Кургане она 13:29.

Обратно можно так:
в 16:35 МСК через Матвеев Курган проходит автобус Таганрог - Торез. Садитесь на него и езжайте до Снежного, а оттуда другим автобусом до Донецка.

Надеюсь, трёх часов на всё про всё хватит.

Можно утром ехать и через Торез (оттуда таганрогским автобусом), но для этого придётся в 4 утра выезжать из Донецка.

Также в 6 утра от Южного автовокзала идёт автобус на Ростов. Он идёт через Таганрог и (вроде бы) через М.Курган (официально остановки там нет). Если водитель остановит, ваша задача сильно упрощается. Билет надо будет брать до Таганрога. Если водитель окажется сговорчивым, может быть, согласится забрать вас на обратном пути (через М.Курган он пройдёт около 7 вечера МСК).