Может ли организация по одному счету- фактуре на аванс принять к вычету НДС, а по-другому нет?

Да, может. Это право, а не обязанность (п. 1 ст. 171 НК) .

При получении от поставщика счета-фактуры на сумму перечисленного аванса покупатель может воспользоваться вычетом. Но, при этом, в момент отгрузки сумму придется восстановить, а к вычету принять уже сумму по окончательному счету-фактуре (на отгрузку) .
Если же сумму НДС по авансу не предъявлять к вычету, то правом на вычет можно воспользоваться при получении окончательного счета-фактуры на отгрузку.