Можно ли выйти на больничный по основному месту работы, а по совместительству продолжать работать?

Если совместительство внешнее, то можете. А так в данном случае берётся 2 больничных листа, просто в одном указывается основное место, а вдругом по совместительству. Но самое главное, что это Ваше право, а не обязанность.