имеет ли право алименщик уехать за границу??

А кто и что ему помешает? Если только на него открыто дело

Имеет, но если поймают за долги по алиментам, то уехать не сможет, пока не погасит задолженность

Если нет задолженности -может. Вы же будете по-человечески на ребенка выплачивать алименты? Ведь ребенок то чем виновен перед вами, родителями?

имеет если алименты оплачивает и нет задоженности

Статья 67 ФЗ "Об исполнительном производстве" .
1. При неисполнении должником в установленный срок без уважительных причин требований, содержащихся в исполнительном документе, выданном на основании судебного акта или являющимся судебным актом, судебный пристав-исполнитель вправе по заявлению взыскателя или собственной инициативе вынести постановление о временном ограничении на выезд должника из Российской Федерации.
....
3. Постановление о временном ограничении на выезд должника из Российской Федерации утверждается старшим судебным приставом или его заместителем. Копии указанного постановления направляются должнику, в территориальный орган федерального органа исполнительной власти, уполномоченного на осуществление функций по контролю и надзору в сфере миграции, и в пограничные органы.

Имеет если дети не его, а так скорее и есть

да, если задолженности по алиментам нет