В каких случаях работник расторгнуть трудовой договор без отработки в течение 2 недель? Если на больничный уйдет?

Да что вы все талдычите про какую-то мифическую отработку? Нет её и никогда не было!
Предупредил за 2 недели работодателя о своём увольнении и дело с концом. А уж как и где проведёшь это время - личное дело. Можешь работать, можешь быть в отпуске, можешь болеть. Только прогуливать нельзя. Всё согласно законодательству.

По общему правилу, установленному статьей 80 ТК РФ, работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен Трудовым кодексом РФ или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.
1 - между сторонами трудового договора достигнуто соглашение об ином сроке расторжения трудового договора.
2 - работодатель обязан уволить работника в день, указанный в заявлении об увольнении, когда увольнение обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательное учреждение, выход на пенсию и другие случаи) . В связи с неопределенностью формулировки «другие случаи» работодатель должен самостоятельно определять, влечет ли обстоятельство, указанное работником, невозможность продолжения работы, что часто является причиной трудовых споров, связанных с увольнением.
3 - у работника отсутствует обязанность по предупреждению работодателя об увольнении за две недели в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора.

чтобы не копировать сюда всю статью прочтите ст 80 ТК РФ. там весь порядок расписан о предупреждении за 2 недели и когда можно в каких случаях уйти раньше

А так же в отпуск, можно и без сохранения заработной платы.