Можно ли пройти ТО имея рукописную доверенность? Какие документы нужны для прохождения ТО?

Рукописной доверенности достаточно. Еще паспорт и СТС (или ПТС для незарегистрированных авто) :
"Статья 17. Условия проведения технического осмотра
...2. Для проведения технического осмотра владелец транспортного средства или его представитель, в том числе представитель, действующий на основании доверенности, оформленной в простой письменной форме, обязан представить оператору технического осмотра транспортное средство и следующие документы:
1) документ, удостоверяющий личность, и доверенность (для указанного в настоящей части представителя владельца транспортного средства) ;
2) свидетельство о регистрации транспортного средства или паспорт транспортного средства. "