Нужно ли доставать с ноутбука батарею при работе компьютера от сети?

Зачем?
Она там стоит, и пока комп в сети, она подзаряжается.

Нет. Батарея - это источник бесперебойного питания для ноута.

При выключенном питании можно но не нужно. То есть нужно если есть какая-то необходимость это сделать не указанная в вопросе.

Может контролеер заряда батареи сгореть от такой манипуляции- если в инструкции не указано обратное

а зачем тебе одновременно и комп, и бук?
в обще-то, многие рекомендуют вытягивать батарею из бука, когда тот подключен к сети, для того чтобы она лишний раз не простаивала в работе, так как от этого она портится.
еще, рекомендуется вытягивать батарею, когда ноутбук долгое время проводит в выключенном состоянии, так как она от этого разряжается и портится