ошибка при заполнении трудовой книжки

Да, исправления на титульном листе не рекомендуются.. .
Работодатель должен был заменить бланк трудовой книжки. Может быть, реально это исправить (путем оформления нового бланка) у первого работодателя? Скажите об этом сотруднику.
На самом деле, это не ваша забота. Вам это ничем не грозит. Самое худшее, что может быть в такой ситуации - сотруднику при выходе на пенсию придется восстанавливать трудовую книжку, проходя по всем рабочим местам. Ему просто могут не засчитать стаж, хотя ПФР сейчас ориентируется больше на уплату взносов, а не на трудовые книжки.. .
Не отдавайте трудовую книжку на руки, пусть сотрудник попробует пообщаться с первым работодателем и принесет новую книжку.

можно поступить еще проще. если прежний работодатель существует - возьмите у него справку о записях, работник напишет заявление, что потерял трудовую и принесет новую. в нее вы сначала внесете запись на основании справки (или нескольких справок) , а потом свою - и все.

Это его право. Хочет - пусть меняет, не хочет - пусть не меняет.

В соответствии с пунктом 27 Правил в случае выявления неправильной или неточной записи в трудовой книжке, ее исправление производится по месту работы, где была внесена соответствующая запись, либо работодателем по новому месту работы на основании официального документа работодателя, допустившего ошибку. Работодатель обязан в этом случае оказать работнику при его обращении необходимую помощь.