На какой срок работник, работающий в ООО может взять отпуск за свой счет (по семейным обстоятельствам)?

Может отпуск взять на тот срок, который согласует руководство. А вот обязано руководство дать отпуск только в случаях, описанных выше. В других ситуациях - исключительно добрая воля руководителей. На моем веку был отпуск за свой счет и на 5 месяцев. Только учтите, что отпуск за свой счет свыше 14 дней влияет на количество положенных дней отпуска за календарный год, и отпуск любой продолжительности негативно влияет на "больничные" в следующем и последующем годах.

По семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам работнику по его письменному заявлению может быть предоставлен отпуск без сохранения заработной платы, продолжительность которого определяется по соглашению между работником и работодателем.
Работодатель обязан на основании письменного заявления работника предоставить отпуск без сохранения заработной платы:
участникам Великой Отечественной войны - до 35 календарных дней в году;
работающим пенсионерам по старости (по возрасту) - до 14 календарных дней в году;
родителям и женам (мужьям) военнослужащих, погибших или умерших вследствие ранения, контузии или увечья, полученных при исполнении обязанностей военной службы, либо вследствие заболевания, связанного с прохождением военной службы, - до 14 календарных дней в году;
работающим инвалидам - до 60 календарных дней в году;
работникам в случаях рождения ребенка, регистрации брака, смерти близких родственников - до пяти календарных дней;
в других случаях, предусмотренных настоящим Кодексом, иными федеральными законами либо коллективным договором.