Докажите что для любого натурального k число k^3+5k делится на 3. Хелп

Вынесем за скобку общий множитель
k*(k^2 + 5)
Теперь рассмотрим три варианта
1. k кратно 3, а значит и всё выражение делится на 3
2. k при делении на 3 дает остаток 1, т. е. k = 3a+1. Тогда выражение в скобке получится
(3а+1)^2 + 5 = 9a^2 + 6a + 1 + 5 = 9a^2 + 6a + 6 - это выражение тоже кратно 3
3. k при делении на 3 дает остаток 2, т. е. k = 3a+2. Тогда выражение в скобке получится
(3а+2)^2 + 5 = 9a^2 + 12a + 4 + 5 = 9a^2 + 12a + 9 - и это выражение тоже кратно 3.
А значит при всех k выражение k^3 + 5k кратно 3

А еще короче: k^3+5k=k(k-1)(k+1)+6k.

Очевидно, 6k кратно 3.

И одно из трех чисел: k, k-1, k+1,
тоже кратно 3.

1) Если К делится на 3, то и K^3+5K = K(K^2+5) тоже делится
2) К при делении на 3 дает в остатке 1
K=3T+1
K^2+5 = 9T^2+6T+6 = 3(3T^2+2T+2) - делится на 3
3) К при делении на 3 дает в остатке 2
K=3T+2
K^2+5 = 9T^2+12T+9 = 3(3T^2+4T+3) - делится на 3

Что и требовалось докзать.

PS: Гениально, мы с Сергеем Соколовым сгенерировали почти дословно одинаковые доказательства :-)