м-натуральное число. сколько таких значений м , при котором выражение 5м - 3 разделить на м в квадрате - 3 целое?

+
Допустим, что существует число N — целое от деления.

(5M - 3) / (M^2 - 3) = N

5M - 3 = NM^2 - 3N

NM^2 - 5M - 3(N - 1) = 0

M 1,2 = (5 ± (25 + 12N(N-1))^(1/2)) / 2N

Приведём подобные в выражении под корнем — обозначено, как ^(1/2)

M 1,2 = (5 ± (12N^2 - 12N +25)^(1/2)) / 2N

N должно быть таким целым, чтобы извлекался корень и при этом должно нацело делиться на 2N, да ещё и с положительным знаком.

Для второго корня, когда используется "минус",
выражение (12N^2 - 12N +25)^(1/2) должно быть < 5
А это невозможно, т. к. при значении N=1 получим M=0 (не натуральное)
При прочих значениях N числитель дроби < 0

При использовании "плюса" подкоренное выражение
12N^2 - 12N + 25 должно быть таким, чтобы корень извлекался, т. е.
12N(N - 1) + 25 = K^2

А это K должно быть ещё и таким, чтобы (K + 5) / 2N было натуральным

Дальше исследуйте сами, учитывая, что M<5
При M>5 выражение перестает быть целым

Решение просто:
числитель становится меньше знаменателя при m>5 и в этом случае число не может быть целым (надо решить соответствующее неравенство) .
Осталось проверить числа 1, 2, 3, 4, 5 и убедиться, что лишь при четырех из них получается целое значение.