существует ли натуральное число за которым последующие 13 натуральных чисел не является простыми?

проведи исследование..
таблица простых чисел для тебя.

Давайте поразмышляем.

Возьмем 13 чисел подряд:
* * * * * * * * * * * * *
и попробуем сделать их составными. Для этого достаточно указать, на что они делятся. Пусть, например, первое делится на 2. Тогда на два делятся еще 3-ье, 5-ое и т. д. Имеем:
2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2

Вот половина чисел у нас уже составные. Но делимость на 2 на этом исчерпана. Продолжим со следующим простым числом - 3. Имеем:
2 3 2 * 2 * 2 3 2 * 2 * 2

И т. д. В итоге получим, например, такой вариант:
2 3 2 5 2 7 2 3 2 11 2 13 2

Осталось подобрать подходящее число. Попробуйте догадаться. Здесь есть простое и красивое решение.

Отмечу, что данный выше вариант далеко не единственный. И он никак не может претендовать на то, что он даст наименьшее число, о котором говорится в задаче. Но нас и не просят о наименьшем числе. Так что достаточно любого принципиального решения.

Вообще же этот способ показывает, что не только 13, но и произвольное, сколь угодно большое количество подряд идущих натуральных чисел могут все быть составными. Или, иначе говоря, два ближайших простых числа могут отстоять друг от друга сколь угодно далеко.