Как найти тройки простых чисел? В уравнении p+g=(p-g)^r. Разные буквы разные числа....»

Попробую предложить более короткое решение (в котором g переобозначена через q).

Очевидно, p>q. Обозначим t=p-q. Из условия легко следует, что t≥2, и из исходного уравнения получим:

t+2q=t^r <=> 2q=t^r-t.

Следовательно, 2q делится на t. Тогда либо t=q, либо t=2. Первая альтернатива невозможна, так как тогда получили бы, что p=2q. Следовательно, t=2. Тогда

2+2q=2^r <=> q+1=2^(r-1) <=> q=2^(r-1)-1.

Поскольку q – простое, то r≠2, а поэтому r нечётно. Следовательно, r-1=2m, а отсюда

q=2^(2m)-1=(2^m-1)(2^m+1).

Но так как q – простое, то 2^m-1=1. Отсюда m=1 и r=3. Тогда q=3 и p=5.

Не исключено, что вопрос будет удалён, но пусть тогда это останется на совести удалившего.. .

Поскольку p и q — простые, то они и взаимно простые :)
Числа (p+g) и (p−q) или взаимно просты, или имеют общий делитель 2. Действительно, пусть НОД (p+g,p−g) = k:
(p+g) = ka,
p−g = kb,
a и b взаимно просты.

Тогда
{ 2p = k(a+b),
{ 2g = k(a−b)
Отсюда следует, что числа (2p) и (2g) делятся на k. Поскольку p и q взаимно просты, то k=1 или k=2.

Исследуем оба варианта:

1) k=1. В этом случае p+g = a, p−g = b, b исходное уравнение принимает вид
a = b^r. Но числа a и b взаимно просты; отсюда следует, что a=b=1.
Но тогда p=1, g=0, что нас не устраивает (по условию p и g должны быть простыми числами) .

2) k=2. Тогда p+g =2a, p−g = 2b;
2a = (2b)^r; a = 2^(r−1)·b^r
p = a+b = b·(1+(2b)^(r−1)),
g = a−b = b·((2b)^(r−1)−1).
Числа p и g простые; тогда
b=1, а числа g = 2^(r−1)− 1 и p = 2^(r−1)+1 должны быть простыми.

При r>3 это невозможно, так как из трёх последовательно идущих чисел 2^(r−1)− 1, 2^(r−1) и 2^(r−1)+1 ровно одно делится на 3; при этом 2^(r−1), очевидно, на 3 не делится, поэтому на 3 делится или p = 2^(r−1)+1, или g = 2^(r−1)− 1.
Единственное простое число, делящееся на 3, это тройка.

Отсюда получаем: g=3, p=5, r=3.

ОТВЕТ: p=5, g=3, r=3 (а если потребовать попарного неравенства чисел p, g, r, то решения не существует) .