На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое

x- положительных, у - отрицательных, z - нулей
33 <=x+y+z <= 47
S1 - сумма положительных, S2 - сумма отрицательных.
S1+S2=5(x+y+z)
S1=16x
S2=-8y

16x-8y=5(x+y+z)

а) Так как правая часть делится на 8, то и левая тоже.
Так как 5 и 8 взаимно простые, то x+y+z делится на 8.
Так как 33 <=x+y+z <= 47, то x+y+z=40.
Всего чисел 40

б) 16x-8y=5(x+y+z), 16x-8y=5*40, 2x-y =25, y=2x -25.
Если y >= x, то 2x-25 >= x, x >=25, y >=25, x+y >= 50, но x+y+z =40. Противоречие, значит, y < x.
Положительных больше

в) Не дописано условие. Наибольшее количество каких чисел нужно найти?

Найдём наибольшее количество положительных
2x=y+25, y=2x-25
x+y+z=40, 3x-25+z=40, 3x <=65, x- целое, x <=21
Если x=21, то y=42-25=17, z=2
Наибольшее количество положительных равно 21,
если в наборе
21 положительных, каждое равно16,
17 отрицательных, каждое равно (-8)
2 нуля.

Так как 2x=y+25,
то наибольшему количеству положительных соответствует и наибольшее количество отрицательных.
Наибольшее количество отрицательных равно 17

Решение. Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных
и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе,
умноженному на его среднее арифметическое, поэтому
4k −8l + 0⋅m = − 3(k + l +m).
а) Заметим, что в левой части приведённого выше равенства каждое
слагаемое делится на 4, поэтому k + l + m — количество целых чисел —делится на 4. По условию 40 < k + l + m < 48, поэтому k + l + m = 44. Таким
образом, написано 44 числа.
б) Приведём равенство 4k −8l = − 3(k + l +m) к виду 5l = 7k + 3m. Так как
m≥ 0, получаем, что 5l ≥ 7k, откуда l > k. Следовательно, отрицательных чисел
больше, чем положительных.
в) Подставим k + l + m = 44 в правую часть равенства
4k −8l = − 3(k + l + m): 4k − 8l = −132, откуда k = 2l − 33 . Так как k + l ≤ 44 ,
получаем: 3l − 33 ≤ 44; 3l ≤ 77; l ≤ 25; k = 2l − 33 ≤17, то есть положительных
чисел не более 17.
Приведём пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске
17 раз написано число 4, 25 раз написано число −8 и 2 раза написан 0. указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.