Задача о треугольнике и арифметической прогрессии

Ответ: d/3.

Привожу геометрическое решение.

Обозначим а, в, с ---стороны треугольника в порядке возрастания, О ---точка пересечения биссектрис, М ---точка пересечения медиан, Р ---основание биссектрисы, опущенной из вершины В, К ---основание медианы, опущенной из вершины В (т. е. середина стороны АС) .
По свойству биссектрисы АР: СР=АВ: СВ=(в-d):(в+d). Поэтому СР=(в+d)*в/((в-d)+(в+d))=(в+d)/2.
По свойству биссектрисы ВО: ОР=ВС: СР=(в+d):((в+d)/2)=2:1. Но и ВМ: МК=2:1. Поэтому треугольники ВМО и ВКР подобны с коэффициентом 2/3.
Следовательно, МО=2/3*РК=2/3*(СР-СК) =2/3*((в+d)/2-в/2)=2/3*d/2= d/3.

ОТВЕТ: d/3

Предложу своё «некрасивое» (алгебраическое) решение.

Пусть стороны треугольника равны a−d, a, a+d. Выберем систему координат так, как показано на рисунке.



1) Найдём ограничения на соотношение a и d. Из неравенства треугольника получаем: a>2d.
Кроме того, из теоремы косинусов получаем:
- при a>4d: ∠BOA — острый;
- при a=4d: ∠BOA — прямой (классический пифагоров треугольник 3:4:5);
- при 2d<a<4d: ∠BOA — тупой.

2) найдём координаты вершины B. y находим по формуле S=ay/2.
Площадь находим по формуле Герона: S = a√(3(a²−4d²))/4,
откуда y = √(3(a²−4d²))/2.
По теореме Пифагора, x² = (a−d)² − y² = (a−4d)²/4.
Извлекая квадратный корень с учётом знака x из п. 1, получаем:
x = (a−4d)/2.

3) теперь легко находим координаты O1 — точки пересечения медиан:
x1 = (a+x)/3 = (3a−4d)/6
y1 = y/3 = 2S/(3a)

4) найдём координаты O2 — точки пересечения биссектрис (она же — центр вписанной окружности) .
Ордината равна радиусу вписанной окружности:
y2 = r = 2S/(3a) = y1
(Таким образом, точки O1 и O2 расположены на одинаковом расстоянии от прямой OA (!), и расстояние между этими точками равно модулю разности их абсцисс (x1 − x2)

x2=t найдём, решив систему (см. рис.) :
{ t+q = a,
{ q+s = a+d,
{ s+t = a−d.
Отсюда x2 = (a−2d)/2

5) Итак, окончательно:
O1O2 = |x1 − x2| = d/3