Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

1)
Рассматриваем очередной квадрат (не важно какой по счету). Пусть его сторона будет A. Вписываем в него следующий квадрат. Найдем стороны B этого вписанного квадрата.
Сторона этого вписанного квадрата и две половинки разных сторон исходного квадрата образую прямоугольный треугольник.
Запишем теорему Пифагура:
(A/2)^2 + (A/2)^2 = B^2
От сюда получаем выражение для стороны B вписанного квадрата через сторону A внешнего квадрата:
B = A / sqrt(2)
2)
Если площадь внешнего квадрата равна A^2, то площадь вписанного квадрата равна:
B^2 = A^2 / 2
Вывод: площадь каждого следующего квадрата вдвое меньше, чем площадь предыдущего.
3)
Пусть площадь первого квадрата равна S_1 (подставите там свои сантиметры, посчитаете потом, когда будет конечная формула).
Тогда площадь второго: S_2 = S_1 / 2
Площадь третьего: S_3 = S_2 / 2 = S_1 / 4
Площадь n-го: S_n = S_1 (1/2)^n
4)
Сложим все площади:
S = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + (и т. д.)
Подставим выражения для всех площадей:
S = S_1 + S_1 (1/2) + S_1 (1/2)^2 + S_1 (1/2)^3 + (и т. д.)
Вынесем за скобку S_1:
S = S_1 [ 1 + (1/2) + (1/2)^2 + (1/2)^3 + (1/2)^4 + (и т. д.) ]
Умножим все равенство на 1/2:
(1/2) S = S_1 [(1/2) + (1/2)^2 + (1/2)^3 + (1/2)^4 + (1/2)^5 + (и т. д.) ]
Последнее равенство вычтем из предпоследнего:
S - (1/2)S = S_1
От сюда выражаем S:
S = 2 S_1
Все, получили, что полная площадь равна удвоенной площади первого квадрата. Подставляйте числа, считайте (ну и, конечно, проделайте сами еще раз).
Удачи =)