Геометрическое неравенство

Надеюсь, не нужно доказывать, что минимум суммы расстояний до вершин достигается в точке Торричелли или в вершине угла, >= 120 градусов.
Хотя сама идея доказательства про точку Торричелли нам понадобится.

1 случай.
Все углы треугольника меньше 120 градусов. Пусть M — произвольная точка. При повороте на 60 градусов относительно точки A точки B, C и M переходят в некоторые точки B', C' и M' (рисовать лениво) . Так как AM = MM' и MC = M'C', то BM + AM + CM = BM + MM' + M'C'. Длина ломаной BMM'C' минимальна тогда, когда эта ломаная является отрезком, т. е. угол AMB = угол AM'C' = угол AMC = 120 градусов.

1.Сумма расстояний от точки M до вершин равна длине отрезка BC'.
(BC')^2= b^2+ c^2- 2bc cos(x + 60o) =
= b^2+ c^2- bc cos x + bc *sqrt 3* sin x= (a^2+ b^2+ c^2)/2 + 2*sqrt 3 S.

2.S^2/p = (p - a)(p - b)(p - c) <= ((p - a + p - b + p - c)/3)^3 = p^3/27 (т. к. среднее геометрическое величин p-a, p-b, и p-c не превосходит их среднего арифметического.
pr=S <= p^2/(3*sqrt 3).

3.Так как (a + b + c)^2 <= 3(a^2+ b^2+ c^2) (скалярное произведение векторов (a;b;c) не превосходит произведения их длин) , то из п. 2 получаем
то S <= p^2/(3*sqrt 3) = (a + b + c)^2/(12*sqrt 3) <= (a^2+ b^2+ c^2)/(4*sqrt 3).

(a^2+ b^2+ c^2)/2 >= 2*sqrt 3*S.

4. Получаем из п. 1 и п. 3
(MA+MB+MC)^2=BC’^2 = (a^2+ b^2+ c^2)/2 + 2*sqrt 3 S >= 4*sqrt 3 S

Из п. 2
r <= p/(3*sqrt 3).
r^2 <= pr / (3*sqrt 3)= S / (3*sqrt 3)
4*sqrt 3*S >= 36 r^2

и
MA+MB+MC >= 6r

2 случай. Есть угол >= 120 градусов. Пусть угол С.
Минимум сумм достигается в M=С и равен
MA+MB+MC= a+b
h_с <= a и h_c < b, то 4S = 2ch_c <= c(a + b).
6r(a + b + c) =12rp= 12S =8S+ 4S <= 4ab+4S <= (a + b)^2+ c(a + b) = (a + b)(a + b + c).
6r <= a+b

1.Сумма МА+МB+МС для равностороннего треугольника
и в случае М=О (центр вписанной окр)
∑=6r (доказать легко)

2.Оставив М=О, докажем,
что эта сумма минимальна именно для равносторонненго треугольнива.
∑=r/sin α+r/sinβ+r/cos(α+β)
Продифференцировав по α и β и приравняв к нулю поизводные, получим в результате
(cosα-cosβ)(1+cosαcosβ)=0, что возможно только если α=β (т. е. все углы равны)
∑> 6r

2.Теперь пусть М- произвольно расположена (и треугольник тоже любой)
МО=d
MA+d>OA
MB+d>OB
MC+d>OC
MA+MB+MC+3d>OA+OB+OC>6r

понятно, что выражение в левой части должно быть минимальным. Для треугольника с углами меньше 120 градусов это будет в так называемой точке торричели ( или как хотите называйте) , а с одним из углов в 120 градусов в этом угле. Впринципе, доказать неравенство нетрудно, но в виду объема=>времени нет возможности :)
P.S в какой-то олимпиаде уже встречал..