Геометрическое неравенство и минимум

r = S/p = (0.5ab*sin(x))/(0.5a+0.5b+0.5c) = (ab*sin(x))/(a+b+c)
ab/r^2 = (a + b + c)^2/(a*b*sin(x)^2)
По теореме косинусов c^2 = a^2+b^2 - 2ab*cos(x),
c = √(a^2+b^2 - 2ab*cos(x))
ab/r^2 = (a + b + √(a^2+b^2 - 2ab*cos(x)))^2/(a*b*sin(x)^2)
a,b константы, выражение зависит только от х
Далее пытался стандартными методами выяснить экстремумы этого выражения, и после множества неудачных попыток, сопровождающихся сообщениями от вольфрама "calculation time exceeded", удалось получить точку экстремума. Но она оказалась слишком жесткой (скрин). Вольфрам отказывается просто ее принимать на ввод.
Потом аналогично попытался из c^2 = a^2+b^2 - 2ab*cos(x) выразить cos(x), получить sin(x)^2, подставить, получить функцию на этот раз от переменной с и проанализировать ее на экстремумы. Но там экстремум оказался еще жестче.
Ну хоть выяснил, что экстремум существует.
Я сдаюсь.

когда радиус наибольший из возможных, наверно в равностороннем треугольнике это будет.

Я думаю, что минимум равен 12 и достигается для равностороннего треугольника
Значит, как я пришел к этому выводу, поясняю. Я, если ты может заметил. по геометрии не отвечаю вообще, это первый раз. Потому что я ее не очень люблю, соответственно знаю тоже не очень. Поэтому я не помню формул, кроме основных. Я не знаю, может и есть такая формула для площади, но я ее получил, так как не знал. S=r²∑ctg α(i)/2, где α(i) (i=1,2,3) все углы треугольника. Получил я ее как сумму площадей вписанной окружности и фигур, образованных отрезками касательных (т. е. сторон) и меньшими дугами этой самой окружности. Ну а дальше, поскольку S=0.5 ab sin α, то
ab/r²=2(ctgα/2+ctgβ/2+ctg(π/2-(α/2+β/2))/sin(π-(α+β))
Ну вот, а исследовать я ее поленился, просто провел оценил что называется на глаз. Так что может я и не прав