Решите неравенство:
x^(2)*log(243,(3-x)) >= log(3,(x^(2)-6x+9))
Это неравенство представлено ниже на фото.
1.Какое наибольшее целое число входит в область определения неравенства?
2.Какое количество натуральных чисел, удовлетворяющих неравенству?
3.Какова сумма целых корней, попадающих в отрезок [-5;5] ?
Заранее спасибо
x² * log 243 (3 - x) >= log 3 (x² - 6x + 9)
x² * log 3^5 (3 - x) >= log 3 (x - 3)²
x²/5 * log 3 (3 - x) >= 2 * log 3 |x - 3|
x²/5 log 3 (3 - x) - 2 log 3(3 - x) >= 0
log 3 (3 - x) * (x²/5 - 2) >= 0
(3 - x - 1) * (x² - 10) >= 0
(x - 2) (x - √10) (x + √10) <= 0
__-__(-√10) __+__(2)__-___(√10)__+___>
Получаем х <= - √10, 2 <= х <= √10
ОДЗ: х < 3
В итоге: х € ( - беск ; - √10) U [ 2 ; 3)
Находим область допустимых значений для х:
x<3 (так как аргумент логарифма может быть только положительным числом)
(х-3)²>0 => х≠3
ОДЗ(х)=(-∞;3).
Обозначим log<3>(3-x) за у, тогда ⅕•x²•y≥2•y.
При у=0 (это когда х=2) неравенство выполняется. При у>0 получается x²≥10, а при у<0 получается наоборот х²≤10.
y>0 когда х<2, но тогда х∈(-∞; - √10]∪[√10;+∞), откуда х∈(-∞; - √10] поскольку 2<√10.
y<0 когда х>2, а с учётом ОДЗ(х) когда х∈(2;3), но тогда х∈[- √10; √10], откуда х∈(2;3).
Объединяем все решения:
(-∞; - √10] ∪ {2} ∪ (2;3) = (-∞; - √10] ∪ [2;3)
Область определения x<3.
x^(2)*log(243,(3-x))- log(3,(x^(2)-6x+9))>=0
x^(2)*log(3,(3-x))/log(3,243))-2*log(3,3-x))>=0
((x^2)/5-2)*log(3,3-x)>=0
равенство достигается в точках x={2; -корень(10)}, x<-корень(10), или 2<=x<3
1. x²-10≥0, log_3(3 - x)≥0, -> x≤- √10
2. x²-10≤0, log_3(3 - x)≤0, -> 2≤x<3.