Неравенство с параметром

чтобы у неравенства
a < 2x/√(x+3) - x
не было целых решений нужно, чтобы для всех целых x
a ≥ 2x/√(x+3) - x
для этого необходимо и достаточно, чтобы a было больше или равно наибольшего (на множестве целых чисел) значения функции f(x) = 2x/√(x+3) - x

f(x) = x/√(x+3) (2 - √(x+3))
при x < 0: 2-√(x+3) > 0, x < 0 ⇒ f(x) < 0
при x > 1: 2-√(x+3) < 0, x > 0 ⇒ f(x) < 0
при x = 0: x = 0 ⇒ f(x) = 0
при x = 1: 2-√(x+3) = 0 ⇒ f(x) = 0
значит, наибольшее значение f(x) на множестве целых чисел равно 0

ответ: a ≥ 0

1) Очевидно, что а не может быть отрицательным, ибо в этом случае х = 0 (целое число) является решением неравенства.

2) Возьмем а = 0. Очевидно, что соотв. уравнение имеет в этом случае два корня: х=0 и х=1.

Обозначим левую часть нер-ва f(x).

Функция f(x) возрастает на всей области определения и является непрерывной. Ее график пересекает прямую у = х в двух точках. На множестве (-3;0) график f(x) лежит ниже прямой, на мн-ве (0;1) - выше (но этому мн-ву не принадлежит ни одно целое число) , на мн-ве (1;+&) - ниже.

При а = 0 исходное неравенство не имеет целочисленных решений.

3) Но при а > 0 нер-во также не может иметь целочисленных решений. Это становится особенно наглядным, если изобразить эскиз графика ф-ции y = f(x) и прямую у = х, а затем начать "передвигать" прямую вверх, оставляя ее прл. самой себе. Несложно обосновать этот факт и аналитически.

Хотелось бы, конечно, изобразить эскизы графиков, но все это слишком хлопотно.

Ответ: при a=>0.