А вот путь проведения полного исследования.
Функция a·x^2+|x-1| состоит, вообще говоря, из двух кусков парабол:
1) при x<1 : a·x^2+x-1
2) при х>1 : a·x^2-x+1
3) (это случай, когда а=0 и параболы вырождаются в прямые) Этот случай совсем прост: уравнение имеет единственный корень х=1.
При a>0 уравнение, действительно, не имеет корней, поскольку каждая из парабол на "своем" интервале лежит выше |x-1| и больше нуля.
А вот при отрицательных значениях а ситуация гораздо интереснее.
Фактически, нужно просто исследовать, сколько корней имеет каждая из парабол в "своем" интервале.
Рассматривая дискриминанты обеих парабол, мы увидим, что для а<0 имеется "особая" точка а=-1/4 у правой параболы (левая всегда имеет 2 корня) .
При а<-1/4 правая парабола не имеет корней,
при а=-1/4 имеет 1 корень, при -1/4 < a < 0 — два корня.
Таким образом, объединяя все вышесказанное, получим:
При 0 < a корней нет
При а = 0 – один корень
При -1/4 < a < 0 — 4 корня
При а = -1/4 — 3 корня
При а < -1/4 — 2 корня
Для наглядности приведу график при нескольких значениях а
