Найдите частное решение дифференциального уравнения y' - y/x = x^2; y(1)=o

y'(x) - y(x) / x = x^2
Будем искать решение в виде:
y(x) = u(x) z(z)
где z(x) - новая искомая функция, а u(x) - просто какая-то произвольная функция, которую мы выберем так, как нам удобно. Подставляем y(x) в таком виде в уравнение:
[u(x) z(x)]' - u(x) z(x) / x = x^2
u'(x) z(x) + u(x) z'(x) - u(x) z(x) / x = x^2
[u'(x) - u(x) / x] z(x) + u(x) z'(x) = x^2
Определим теперь u(x), потребовав, чтобы выражение в квадратных скобках было равно 0 (метод Бернулли):
u'(x) - u(x) / x = 0
Разделяем переменные:
du / u = dx / x
Интегрируем:
ln|u| = ln|x| + const
Избавляемся от логарифмов:
u(x) = C x
Выберем C = 1 (это же все равно произвольная функция, пусть будет такая)
u(x) = x
Возвращаемся к уравнению для z:
[u'(x) - u(x) / x] z(x) + u(x) z'(x) = x^2
0 + x z'(x) = x^2
Разделяем переменные:
dz = x dx
Интегрируем:
z(x) = (1/2) x^2 + C
Возвращаемся к y:
y(x) = x z(x) = x (C + (1/2) x^2)
Записываем ваше доп. условие:
y(1) = 0
y(1) = C + 1/2
Получаем:
C = - 1/2
И тогда искомое частное решение:
y(x) = (x^2 - 1) x / 2

Вот-вот! Слушайте предыдущего оратора!