Дифференциальные уравнения. Задача на доказательство.

Для доказательства существование см. теорему Пикара. В вашем случае она будет упрощена.
Для доказательства единственности возьмем две функции u(x), v(x):
u(x+T) = u(x)
v(x+T) = v(x)
И пусть обе будут решением уравнения, тогда:
u' + a u = f
v' + a v = f
Вычтем уравнения:
(u-v)' + a (u-v) = 0
Для разности u-v получили однородное уравнение, которое, в отличие от исходного, не содержит неизвестных функций. Интегрируем его:
u-v = C exp(- a x)
Из периодичности:
u(x+T) - v(x+T) = u(x) - v(x) = C exp(- a x)
u(x+T) - v(x+T) = C exp(- a x) exp(- a T)
Вычитая равенства, получаем:
C (1 - exp(-a T)) = 0
Либо C = 0, либо exp(- a T) = 1
Если C = 0, то u-v = 0, u = v.
То есть из существования двух решений следует, что это одно и то решение.
Еще, возможно, стоит рассмотреть:
exp(- a T) = 1
a нулю не равно. Поэтому такое возможно только при T = 0.
А что будет значит T = 0?
f(x+0) = f(x)
Что-то выглядит бессмысленным. С другой стороны, если непрерывно устремлять T к нулю, то можно подумать, что f(x) = const. В этом случае уравнение можно просто показать, что периодическое решение равно константе и так же единственно.