Дополнительное образование
Про функцию на множестве натуральных чисел
Найти все такие функции f, которые определены на множестве натуральных чисел и удовлетворяют трём таким условиям: 1) f(1) = 1; 2) f(n + 2) + (n^2 + 4n + 3)f(n) = (2n + 5)f(n + 1) при всех n Є N; 3) f(m) делится без остатка на f(n) при любых натуральных m > n
Евгений Лукша
17 300
Не претендую на точность, но, во-первых, затраченного времени жалко :), во-вторых, возможно, мои рассуждения помогут кому-то сделать все более строго.
Из второго условия при n=1 имеем:
f(3) = 7f(2)-8
Третье условие нам дает, что 7+8/f(2) — целое, следовательно, f(2) может быть равно лишь одному из значений: -8,-4,-2,-1,1,2,4,8.
Кроме того по условию 2 выразим несколько членов ряда через f(2):
f(4) = 9f(3)-15f(2) = 48f(2)-72
f(5) = 11f(4)-24f(3) = 360f(2)-600
f(6) = 13f(5)-35f(4) = 3000f(2)-5280
f(7) = 15f(6)-48f(5) = 27720f(2)-50400
...
Здесь, возможно, можно было бы "плясать" от последовательностей коэффициентов, но я пошел по другому пути, просто подставляя возможные f(2) и рассматривая получающиеся последовательности.. .
Например, одна из наглядных последовательностей при f(2) = 2:
f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 6, f(4) = 24, f(5) = 120, f(6) = 720... т. е. f(n) = n!
То, что эта функция удовлетворяет условию 3 – очевидно, а то, что она удовлетворяет условию 2 легко проверяется непосредственной подстановкой:
(n+2)! - (2n+5)(n+1)! + (n^2+4n+3)n! = n!·((n+1)·(n+2)-(2n+5)·(n+1)+(n^2+4n+3)) = 0
Рассматривая таким образом все возможные значения f(2), я получил, что лишь еще при f(2) = 4 получается функция, удовлетворяющая всем условиям:
f(n) = (n+2)!/6, которая также легко проверяется.
Для остальных значений f(2), уже в первых членах выписанного выше ряда нарушается условие 3.
Из второго условия при n=1 имеем:
f(3) = 7f(2)-8
Третье условие нам дает, что 7+8/f(2) — целое, следовательно, f(2) может быть равно лишь одному из значений: -8,-4,-2,-1,1,2,4,8.
Кроме того по условию 2 выразим несколько членов ряда через f(2):
f(4) = 9f(3)-15f(2) = 48f(2)-72
f(5) = 11f(4)-24f(3) = 360f(2)-600
f(6) = 13f(5)-35f(4) = 3000f(2)-5280
f(7) = 15f(6)-48f(5) = 27720f(2)-50400
...
Здесь, возможно, можно было бы "плясать" от последовательностей коэффициентов, но я пошел по другому пути, просто подставляя возможные f(2) и рассматривая получающиеся последовательности.. .
Например, одна из наглядных последовательностей при f(2) = 2:
f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 6, f(4) = 24, f(5) = 120, f(6) = 720... т. е. f(n) = n!
То, что эта функция удовлетворяет условию 3 – очевидно, а то, что она удовлетворяет условию 2 легко проверяется непосредственной подстановкой:
(n+2)! - (2n+5)(n+1)! + (n^2+4n+3)n! = n!·((n+1)·(n+2)-(2n+5)·(n+1)+(n^2+4n+3)) = 0
Рассматривая таким образом все возможные значения f(2), я получил, что лишь еще при f(2) = 4 получается функция, удовлетворяющая всем условиям:
f(n) = (n+2)!/6, которая также легко проверяется.
Для остальных значений f(2), уже в первых членах выписанного выше ряда нарушается условие 3.
Похожие вопросы
- существует ли натуральное число за которым последующие 13 натуральных чисел не является простыми?
- м-натуральное число. сколько таких значений м , при котором выражение 5м - 3 разделить на м в квадрате - 3 целое?
- Как доказать бесконечность множества простых чисел вида 8k+1?
- Докажите что для любого натурального k число k^3+5k делится на 3. Хелп
- Помогите разобраться с терминами "уравнение" и "функция" (Алгебра).
- Можно помощи математиков? О построении функции
- Если перемножить все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности получится 0, но что получится если 0 исключить?
- На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое
- в чем заключается функции Совета по аудиторской деятельности?
- Как называется множество, которое содержит в себе все существующие множества и их подмножества?
AnBn + (n + 1)(n + 3) = (2n + 5)Bn =>
1) Bn = n + 1 => An = n + 2 => f(n) = n!
2) Bn = n + 3 => An = n + 4 => f(n) = n!/6
3) Bn = (n+1)(n+3) => An = 2n + 4 =>
f(2) = B1f(1) = 8,
f(3) = B2f(2) = 120
С другой стороны
f(3) = A1f(2) = 48
n + 1 = kBn
n + 3 = mBn
(n+1)(n+3) = pBn
Но, возня!