на каком основании можно подать иск в суд если: страховая заплатила по дтп (осаго), но как кажется потерпевшему мало

Возможно вам поможет, если ущерб после дтп оценит независимый эксперт

На основании представленных документов о сумме реально причиненного ущерба

По одному простому основанию: "Хочу денег" но этого основания будет маловато

Слово "кажется" никогда не упоминайте в суде. Только на основании документов, подтверждающих расходы потерпевшего.

На основании понесённых Вами убытков.
Имеете полное право взыскать ущерб с виновника ДТП, если сумма выплаченная страховой не покрыла Ваши убытки.
Восстанавливаете свой автомобиль за личные денежные средства, во время восстановления авто, собираете всё, даже талончики на метро, чеки на сердечные и успокоительные препараты и т. д. После восстановления автомобиля минусуете оплаченное страховой, а разницу через суд с виновника. Не забудьте в исковом указать как Вы страдали и мучились без автомобиля, как Вы стояли в очередях на маршрутки, и как задыхались в душном общественном транспорте!
Суд взыщет в 3,5 секунды.
Я был в похожей ситуации, только у нас было сложнее. Виновник ДТП скрылся, а собственник в суде утверждал, что он за рулём не сидел, а машину продал по простой рукописной форме. В итоге суд всё взыскал не с причинителя вреда, а с собственника ИПО! А уж собственник теперь пусть в порядке регресса - взыскивает с того, кому продал свою машину.
И ещё, кто сидел за рулём автомобиля злодея? Собственник или работник? Если работник, то в суд исковое на работодателя!!!

Можно сделать свою экспертизу и обратиться в суд с иском о возмещении причинённого ущерба, если потерпевший не согласен с экспертизой сделанной страховой компанией

На виновника. Статья 1079. Ответственность за вред, причиненный деятельностью, создающей повышенную опасность для окружающих