Имеют ли право люди в милицейской форме на личном автомобиле, снимать нарушителей ПДД на любительскую камеру и выписыва

они могут снимать, но на служебном автомобиле, служебной камерой и в регламентированном свыше месте

Если гражданин не согласен, то гаец должен составить протокол и вынести постановление. Видеосъёмка - лишь попытка доказать правонарушение. Должностное лицо, рассматривающее дело об АПН, вправе признать запечетленное на видео доказательством.
Исходя из данных в вопросе, нарушений закона в данной ситуации не вижу.

Право воздействия на нарушителя имеет даже гражданин, видящий это нарушение. Если вас с квитанцией отсылают в себрбанк для уплаты штрафа - это тоже правомерно (милиции такое право предоставлено). А вот если так называемый штраф изымается на месте - это уже должно вас привести в кабинет прокурора.

имеют

Законом не запрещено...

Не имеют, но суды принимают такие съемки в качестве доказательств... Такая страна..

снимать на камеру имеют право, а вот останавливать и предъявлять запись с нарушением и выписывать квитанцию на штраф только если машина с опознавательными знаками ГИБДД, или квитанцию о штрафе пришлют по почте.

Искать доказательства вины ( нарушения) они могут любыми способами ( т. е. камера может быть установлена в любом месте это не регламентировано) , а останавливать нарушителей они имеют право только на служебном автомобили, либо на стационарном посту) . Составляется протокол, его вы можете либо обжаловать, или оплатить штраф.

НИЧЕГО ПОДОБНОГО ОНИ НЕ ИМЕЮТ НА ЭТО ПРАВО
1 Вы частное лицо и если они снимают вас на камеру, то они не как милицеонеры
2 У них нет указаний свыше (ордера)

ну сразу с квитанцией никто не имеет права отправлять а может я обжаловать захочу!