Подскажите, существует ли федеральный закон о выгуле собак?

Нет. Законы о содержании животных и их выгуле принимают субъекты федерации самостоятельно.
например, есть такой Закон в СПб.
18 января 2010 года был подписан закон Санкт-Петербурга, устанавливающий ответственность за ненадлежащее содержание собак в городе.
В результате закон Санкт-Петербурга «Об административных правонарушениях в сфере благоустройства в Санкт-Петербурге» был дополнен новой статьей, согласно которой к нарушениям правил содержания собак отнесено:

выгул собак в общественных местах и провоз собак в общественном транспорте без поводка, а собак, имеющих высоту в холке более сорока сантиметров (далее – крупных собак) , без поводка и без намордника;
выгул собак на детских и спортивных площадках, возле детских и образовательных учреждений, а также учреждений здравоохранения;
выгул собак в местах проведения культурно-массовых и спортивных мероприятий;
выгул крупных собак детьми в возрасте до 14 лет без сопровождения взрослых;
выгул собак гражданами в состоянии алкогольного, наркотического или токсического опьянения;
выгул одним лицом одновременно более двух крупных собак;
оставление собак гражданами в общественных местах и в местах выгула без присмотра;
натравливание собак на людей и животных.

региональные есть, поэтому в некоторых регионах могут существовать перегибы с намордниками, у местных властей фобии и страхи беспричинные, отсюда жестокость необоснованная.

Нет.

Федерального такого закона нет. Но это не значит, что с собака может гулять сама по себе и без намордника!!