Метод Лагранжа. Помогите решить. Решение не так важно, объясните что за чем идет. Заранее спасибо.

А условия Куна-Таккера?

maxima (21-x)x+(62-2y)y-(x+2y+150) if x+2y+150<=175

Это можно вставить

в WolframAlpha.

Или деньги вперед.

Перепишем задачу
(21-x)x+(62-2y)y-(x+2y+150) --> min
-x <= 0
-y <= 0
x+2y+150 <= 175 или x+2y-25 <= 0.
Неравенства пишем в каноническом виде gi(x) <= 0.

Составляем функцию Лагранжа:
L(x,gamma) = f(x) + gamma1*g1(x) + .+gamman*gn(x) или для задачи
L(x,y,gamma) = (21-x)x+(62-2y)y-(x+2y+150) + gamma1*(-x) + gamma2*(-y) + gamma3*(x+2y-25).
Далее (см. пункт a) теоремы 1.1 работы www.machinelearning.ru/wiki/images/d/dd/MOMO17_Seminar7.pdf :) находим решение, для которого выполнены 3 условия:
1) Стационарность: dL/ dx = 0 и dL/dy = 0.
-2x+21-1-gamma1+gamma3 = 0 и
-2y+62 - 2- gamma2 + 2 gamma3 = 0
2) Условия дополняющей нежёсткости:
gamma1*(-x) = 0
gamma2*(-y) = 0
gamma3*(x+2y-25) = 0
3) неотрицательности:
gamma1 >= 0, gamma2 >= 0, gamma3 >= 0

Получаешь систему:
-2x+21-1-gamma1+gamma3 = 0
-2y+62 - 2- gamma2 + 2 gamma3 = 0
gamma1*(-x) = 0
gamma2*(-y) = 0
gamma3*(x+2y-25) = 0.

Решаешь её и находишь решения, удовлетворяющие условиям неотрицательности:
gamma1 >= 0, gamma2 >= 0, gamma3 >= 0.

Решать можно так: из первых 2 уравнений выразить x и y через gamma1,...gamma3.

Далее применяешь условия Слейтера (см. википедия --> условия Каруша-Куна-Таккера --> более слабые условия) и понимаешь, что решение -- минимум.
Т. к. x = 0, y = 0 и x+2y = 25 -- несовместная система, условия Слейтера выполнены

P.S. Вместо gammа лучше писать lambda