Помогите понять решение примера, объясните как раскладывать на простые множ. и находить этим путем доп. множ.

4 2/15 + 3 5/18 =
= (4 + 2/15) + (3 + 5/18) =
= (4 + 3) + (2/15 + 5/18) =
__ 15 = 3 * 5
__ 18 = 3 * 3 * 2
значит общий знаменатель будет 2 * 3 * 3 * 5 = 90
домножить дробь на "недостающее", чтобы знаменатели сравнялись
= 7 + (2/15 + 5/18) =
= 7 + (6/6) * 2/15 + (5/5) * 5/18 =
(так как (6/6) = 1 и (5/5) = 1, то сами дроби не изменятся)
= 7 + (6*2 / 6*15) + (5*5 / 5*18) =
= 7 + 12/90 + 25/90 =
= 7 + (12 + 25)/90 =
= 7 + 37/90 =
= 7 37/90

Это ключевая идея всей арифметики.
Рассмотрим пока только числа, больше 1. 1 не будем пока рассматривать.
Любое число, большее 1, обязательно делится на 1 и само на себя - то есть у любого числа есть два делителя. Так вот бывают простые числа, у которых других делителей нет. Первые простые: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31.

А бывают числа не простые. Они делятся на 1, сами на себя и ещё на что-нибудь. Например, число 45 делится на 1, на 3, на 5, на 9, на 15 и на 45.

И есть совсем неочевидный факт. Если число не простое - его можно представить как произведение простых чисел ("разложить на простые множители"), и такое представление единственно в смысле набора. То есть переставлять сомножители можно, но и только: нельзя никакой убрать и никакой добавить. 45 = 3*3*5, и никак иначе.

Поэтому искать это разложение можно любым способом. Как ни ищи, получится одно и то же. Обычно на практике делят на маленькие простые числа - и если разделилось, то мы нашли ещё один простой множитель, а то, что осталось, можем делить дальше. Есть стандартная граница: если мы дошли до квадратного корня из числа, а оно не разделилось - значит, оно простое. Самый маленький делитель должен быть меньше квадратного корня: если их 2, и оба больше - то произведение их будет больше самого числа.

В основном это практикой берётся. Нахождением разложения разных чисел. Например, 2022 = 2*3*337, 2023 = 7*17*17, 2024 = 2*2*2*11*23
https://www.2dtx.com/prime/ - может помочь.

Когда у нас есть такие разложения для двух чисел - нам очень легко найти НОД и НОК.
Например, 220 = 2*2*5*11, 284 = 2*2*71. Наибольший их общий делитель - те множители, которые входят и туда, и туда, то есть 2*2, то есть 4. А наименьшее общее кратное должно содержать все множители, которые входят в какое-либо число, то есть 2*2*5*11*71 = 15620. И понятно, что 15620 = (2*2*5*11)*71 = 220*71 и 15620 = (2*2*71)*5*11 = 284*5*11.

В качестве общего знаменателя обычно и используют наименьшее общее кратное. Сразу понятно, на что нужно домножать: на простые множители, которых в этом числе не было.

Да.