Помогите решить неравенство, с пояснением. Заранее спасибо.

(8^(x+ 2/3) - 9*4^(x + 1/2) + 13 * 2^x - 13) / (4^(x+1/2) - 9*2^x + 4) =<
=< 2^(x+1) - 1/(2^x-2) + 3/(2^(x+1)-1) = =>
для наглядности - замена (2^x = a)

числитель 1-ой дроби:
(8^(x+ 2/3) - 9*4^(x + 1/2) + 13 * 2^x - 13) =
= [2^(3x+2) - 9*(2^(2x+1) + 13 * 2^x - 13] =
= (2^x)^3 * 2^2 - 9*(2^x)^2 * 2^1 + 13 * (2^x) - 13 =
= 4a^3 - 18a^2 + 13a - 13

знаменатель 1-ой дроби:
(4^(x+1/2) - 9*2^x + 4) =
= (2^x)^2 * 2 - 9*(2^x) + 4 =
= 2a^2 - 9a + 4

Правая часть неравенства:
2^(x+1) - 1/((2^x) -2) + 3/(2^(x+1)-1) =
= (2^x) * 2 - 1/((2^x) - 2) + 3/((2^x) * 2) - 1) =
= 2a - 1/(a-2) + 3/(2a - 1) =
= [2a * (a-2) * (2a-1) - (2a-1) + 3*(a-2)] / (a-2)(2a-1) =
= [(2a-1) * {2a*(a-2) - 1} + 3*(a-2)] / (a-2)(2a-1) =
= [(2a-1) * (2a^2 - 4a - 1) + 3a - 6] / (a-2)(2a-1) =
= (4a^3 - 2a^2 + 8a^2 + 4a - 2a + 1 + 3a - 6) / (a-2)(2a-1) =
= (4a^3 + 6a^2 - 5a - 5) / (a-2)(2a-1)

=> неравенство будет:
(4a^3 - 18a^2 + 13a - 13) / (2a^2 - 9a + 4) =< (4a^2 - 4a - 5) / 2a
Решить неравенство и вернуться к замене

Кто это придумывает

Давайте сначала упростим левую часть неравенства:

(8^(x+ 2/3) - 9*4^(x + 1/2) + 13 * 2^x - 13) / (4^(x+1/2) - 9*2^x + 4)

= [(2^3)^(x+ 2/3) - 9*(2^2)^(x + 1/2) + 13 * 2^x - 13] / [(2^2)^(x+1/2) - 9*2^x + 2^2] (using the rule that a^b^c = a^(b*c) and factoring out 2^2 from the denominator to match the 2's in the numerator)

= [2^(3x + 2) - 9*2^(2x + 1) + 13*2^x - 13] / [2^(x+1) - 9*2^x + 4] (applying the exponent rules)

Затем давайте упростим правую часть неравенства:

2^(x+1) - 1/(2^x-2) + 3/(2^(x+1)-1)

= 2^(x+1) - (2/(2^x-2) - 3/(2^(x+1)-1)) (combining the last two terms by finding a common denominator)

= 2^(x+1) - (2/(2*(2^(x-1)-1)) - 3/[(2^x)(2-1)]) (factoring out 2 from the denominator and simplifying)

= 2^(x+1) - (1/(2^(x-1)-1) - 3/2^x) (simplifying further)

А сейчас мы можем переписать неравенство следующим образом:

[2^(3x + 2) - 9*2^(2x + 1) + 13*2^x - 13] / [2^(x+1) - 9*2^x + 4] <= 2^(x+1) - (1/(2^(x-1)-1) - 3/2^x)

Чтобы решить эту проблему, давайте умножим обе стороны на знаменатель левой части:

2^(3x + 2) - 9*2^(2x + 1) + 13*2^x - 13 <= [2^(x+1) - (1/(2^(x-1)-1) - 3/2^x)] * [2^(x+1) - 9*2^x + 4]

Упрощение правой части с использованием распределительного свойства и разложение на множители 2^x:

2^(3x + 2) - 9*2^(2x + 1) + 13*2^x - 13 <= 2^(2x+2) - 9*2^(2x-1) + 4*2^(x+1) - 2^(x+1)/(2^(x-1)-1) - 3/(2^(x-1)-1) - 6

Теперь мы можем объединить подобные термины, чтобы получить:

2^(3x + 2) - 2^(2x+2) - 9*2^(2x-1) + 13*2^x - 4*2^(x+1) + 2^(x+1)/(2^(x-1)-1) - 3/(2^(x-1)-1) - 6 <= 0

Это не очень красивое выражение, но мы можем проверить, что оно верно для x = 0 и x = 1, и мы можем видеть, что левая часть приближается к отрицательной бесконечности по мере того, как x приближается к бесконечности. Следовательно, мы можем заключить, что неравенство справедливо для всех x >= 0.

Вот здесь недавно выложили решение этого задания, посмотри.
https://ege314.ru/15-neravenstva/reshenie-3966/