Задача с парамером: с заменой переменной

Замена: 3^|sin x|=y
1 < y < 3
y^2 + 2(a-2)*y+(a^2-1)>0
Неравенство выполняется, если есть парабола с ветвями вверх, и ее вершина лежит выше оси абсцисс. Абсцисса параболы -b/2a = 2-a.
Ордината параболы:
(2-a)^2 + 2*(a-2)(2-a) + a^2-1>0
-(2-a)^2+a^2-1>0
-4-a^2+4a + a^2-1>0
4a-5>0
a>5/4

( -беск; -sqrt(13) - 3) U ( sqrt(5) - 1; беск.)
3^|sin(x)| = t .
(a+t)^2 > 4t + 1. Решается графически на отрезке 1 <= t <= 3.
Если ничего не напутал в устном счете.

Рассмотрим первое слагаемое левой части неравенства, это 9 в степени модуль sinx:
9^(|sinx|) = (3^2)^(|sinx|) = 3^(2|sinx|) = (3^(|sinx|)^)2

Тогда можно выполнить замену переменной, так как у нас уже есть 3^(|sinx|) во втором слагаемом.
Введем новую переменную t: t = 3^(|sinx|)
Тогда неравенство преобразуется в следующий вид:
t^2 + 2(a-2)*t +a^2 - 1 > 0

Левая часть неравенство напоминает многочлен от обычного квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0. Корни такого уравнения (т. е. те "x", в которых это уравнение равно нулю), ищутся по формулам с поиском дискриминанта D: D = b^2 - 4ac
И вам должно быть известно, что квадратное уравнение не имеет корней при D<0, и при любых значениях "икс" ax^2 + bx + c будет больше нуля, если a>0 и меньше нуля при a<0.

Теперь смотрим на наше неравенство t^2 + 2(a-2)*t +a^2 - 1 > 0
При вышеописанных правилах, оно будет больше нуля при двух условиях:
1) множитель при t^2 больше нуля (у нас при t^2 стоит 1>0, условие выполнено);
2) D<0

То есть, чтобы исходное неравенство выполнялось, при любых t (а, следовательно, и при любых иксах), нам достаточно найти дискриминант, который был бы меньше нуля, чтобы квадратное уравнение не имело бы никаких корней!
D = b^2 - 4ac = (2(a - 2))^2 - 4*1*(a^2 - 1)

Мы найти такое "а", при которых D < 0:
(2(a - 2))^2 - 4*1*(a^2 - 1) < 0 => 4*(a - 2)^2 - 4a^2 + 4 < 0 =>
=> 4*(a^2 - 4a + 4) - 4a^2 + 4 < 0 => 4a^2 - 16a + 16 - 4a^2 + 4 < 0 =>
=> - 16a + 20 < 0 => 16a > 20 => a > 20/16 => a > 5/4

Итак, при а > 5/4 (a > 1,25) наше неравенство выполняется при всех "икс".

Ответ: a > 5/4 (или a > 1,25)