Задача: 40 политиков встретились и каждый пожал всем другим руки. Сколько было рукопожатий всего?

Вижу очень много разных ответов, поэтому предлагаю три по сути эквивалентных решения.

Первый подход. Сколько рукопожатий вообще может быть? Ровно столько, сколько пар людей можно выбрать, то есть
Cₙ² = n(n - 1)/2 = 40 * 39 / 2 = 780

Второй подход. Каждый из n человек поздоровался со всеми остальными n-1, то есть фраза "здравствуйте, я такой-то" по правилу комбинаторного умножения была сказана n * (n-1) = 40 * 39 = 1 560 раз. Но приветствий было вдвое больше, чем рукопожатий, потому что ситуации (политик А пожал руку политику В) и (политик В пожал руку политику А) -- это два приветствия, но одно рукопожатие. Тогда число приветствий надо поделить пополам, чтобы получить 1 560 / 2 = 780 рукопожатий.

Третий подход (предложен Свежий Тёплый Хлебушек, см. выше). Посчитаем число рукопожатий как сумму различных людей, которым каждый политик жал руку. Первый политик пожал руку 39 людям (всем, кроме себя). Второй пожал руку первому и оставшимся 38, третий -- первому, второму и ещё 37 и так далее. Итого уникальных рукопожатий будет
39 + 38 + 37 + ... + 1
Это сумма арифметической прогрессии, поэтому она равна
(39 + 1) * 39 / 2 = 780

1560

39+38+37+...+1.

я б их еще предложил айдишки рукопожатий в симметричную относительно главной диагонали таблицу 40 х 40 внести.
Столбцы и строки проиндексиррвать фамилиями политиков в алфавитном порядке.

на диагонали в таблице 40 клеток, а над ней - (40*40 - 40)/2

1600

3200

40^2=1600.