Почему в первом уравнении иррациональное уравнение не имеет корней, а второе решается?

√(x+1)= -3
√(x+1) -это корень из числа. Для вещественных чисел корень из числа это - положительное число по определению, и оно не может быть равно отрицательному числу (-3). По этому нет решений.
Если мы возводим в квадрат, то появляются лишние корни уравнения:
x+1=9
x=8.
Проверка
√(8+1)=3=/= -3.
8 - не корень уравнения √(x+1)= -3. Понятно?

1 под корнем не может быть отрицательное число
2 если х<0 , то -х>0

О, Господи! Куда катится наше образование? Толком никто не может объяснить человеку, почему √а ≥ 0, и потому не может быть отрицательным. Дело в том, что знак "радикала" из неотрицательного числа ПО ОПРЕЛЕЛЕНИЮ неотрицателен. Это признак арифметического корня. Поскольку радикал четной степени (в действительной области, а другой мы не рассматриваем) нельзя извлекать из отрицательных чисел, то под корнем должно стоять неотрицательное число и, по признаку арифметического корня (признак - радикал), он не отрицателен. Поэтому, и только поэтому, первое уравнение и не имеет решений!
Теперь насчет 9. Корней квадратных из 9 существует два: -3 и 3. Но арифметический только один - это 3. Поэтому, √9 = 3, поскольку радикал - признак арифметического корня. Второй корень можно выразить через арифметический: -3 = -√9.
Этим, кстати, объясняется "таинственное" появление модуля в формуле √(a)^2 = IaI

Потому что корень четной степени не может быть отрицательным числом.

Это следует из определения корня. Что есть корень степени n от числа a? Это такое число b, что b^n = a.

Теперь попытайся ответить на вопрос: какое число нужно возвести в квадрат, чтобы получить -3? Такого вещественного числа в природе нет. Конечно, есть комплексные, но это выходит за рамки школьной программы