Домашние задания: Алгебра

Как решаются тригонометрические уравнения вида "sin(f(x)) + sin(g(x)) = c"?

А так же любые другие триг. уравнения, где у всех триг. функций разные углы.

Вот один из примеров, который я попытался решить с помощью формулы суммы синусов, а после приравнивания каждый множитель отдельно к единице:
sin(x) + sin(5x) = 2

После применения формулы суммы и простых преобразований, я получил: "sin(3x) * cos(2x) = 1"
Приравняв каждый множитель отдельно к единице, я получил:
x1= (pi/6) + ((2pi*n)/3) (т. е. "(4pi*n + pi)/6" , где n∈Z
x2 = pi*m, где m∈Z

Но насколько я знаю, это неверный ответ. Так что же я сделал не так и как надо было?
Валентина Маматова
Валентина Маматова
296
Так, про общий вид я не скажу, а вот про конкретный пример... Смотрите, у Вас произведение равно 1 в двух случаях: а) когда sin 3x = cos 2x = 1, то есть, надо решить систему уравнений sin 3x = 1 и cos 2x = 1. Б) когда решаете систему уравнений, что sin 3x = -1 и cos 2x = -1. Объединение решений а и б и будет ответ.
Федор Чупрынин
Федор Чупрынин
6 432
Лучший ответ
Валентина Маматова Эх.... И вновь про метод оценки.... Который совершенно не понятен.... Я, изучая методы решений триг. уравнений, дошёл до "метода оценок", который совершенно не понял. Нигде толком он не описан в деталях. Я решил, что лучше будет просто послать его куда подальше и решать другими методами, но понял одну вещь: все предыдущие методы были ориентированы, что у всех триг. функций одинаковый угол (т. е. например x, или 2x, или 3x, и т. п.). А если разные, то... ЧТО ДЕЛАТЬ? Только в этом методе углы были разными. Но он же не единственный способ решать такие уравнения.
Валентина Маматова Таня, что ответила ранее, тоже привела этот метод оценки. Получилась система, решила её. Но как в вышел тот итоговый ответ у неё? Как она объединила эти чёртовы множества?
Валентина Маматова И кстати, а что тогда насчёт этого уравнения?: "cos(x) * cos(4x) = -1". Я нашёл его кое где. И... Там как обычно бывает некоторые этапы пропущены и.. Я попутался решить теперь как Вы научили... Но. Возник вопрос.
Я получил систему пересечений следующую: "cos(x) = -1" & "cos(4x) = 1"
Нашёл у них иксы: "x=pi+2pi*n" & "2pi*m". Начал в каждое из них подставлять вместо n(/m) числа, начиная с нуля и пока не дойду до +2pi.
В первом множестве я дошёл до n=1 => x=pi+2pi
Во втором множестве дошёл до m=1 => 2pi
И... Ответ итоговый сайт говорит что должен выйти "pi+2pi". Но ведь там такого совпадения нету в этом переборе. Ведь "pi+2pi"(т. е. 3pi) и "2pi" это не одно и тоже, верно? Тогда почему? Что я упустил?
Валентина Маматова Так или иначе, спасибо за то, что вновь помогли ещё лучше разобраться с этим способом для этого метода. Надеюсь новых "приколов" не обнаружу.
Как говорил один мой знакомый навигатор, не умеющие считать приблизительно долго не живут.
Известно, что синус больше единицы не бывает. Имеем синус икс равный единице. Икс очевидно пи пополам. От пяти пи пополам отнимем два пи или четыре пи пополам, получаем то, что получаем. Всё.
А вот исходная формула, sin(f(x)) + sin(g(x)) = c, это совсем другая разница. Нигде ведь не сказано, что g(x) можно выразить как k*f(x).
Куаныш Хожамжаров
Куаныш Хожамжаров
94 756
sin(x) + sin(5x) = 2

Так как наибольшее значение синуса=1, то переходим к системе:

{ sinx = 1 …… х = pi/2 + 2pin, n€Z

{ sin5x = 1 …… х = pi/10 + 2pik/5, k€Z

Ответ: х = pi/2 + 2pin, n€Z

__________________________________

Если сумма двух функций кос и син равна нулю, тогда надо применить формулу суммы, дабы получить произведение, равное нулю. Ход решения может отличаться в зависимости от С
Битуганова Гульбахар
Битуганова Гульбахар
66 857
Валентина Маматова Почему нельзя было применить к, например, приведённому мною примеру, формулу суммы синусов? И собственно решать так, как я решал.
Валентина Маматова Вопрос из другого вопроса. Очень нужно. Надеюсь поможете.

В какой последовательности стоит изучать следующие темы:
1) Точки максимума и минимума
2) Возрастание и убывание функции
3) Точки экстремума и теорема Ферма
4) Чётность и нечётность функции
5) Периодичность функции
6) Выпуклость и вогнутость функции
7) Непрерывность функции

Нужно изучить тему функций и графиков. Но на всех источниках очень разбросано эти темы присутствуют. Не понимаю с какой будет правильней и логичней начать. (Подробно каждую элементарную функцию я собрался изучить уже после этих перечисленных тем)

А так же необходимо ли перед этим всем изучить производные? А перед ними необходимо ли ОБЯЗАТЕЛЬНО изучить тему "пределы", для успешной в итоге сдачи ЕГЭ (в плане этих тем)?

Похожие вопросы