Исследовать функцию и построить ее график f(x)=x+4/x-2

Для исследования функции и построения её графика, мы можем выполнить следующие шаги:

Найти область определения функции. Область определения - это множество всех значений аргумента x, для которых функция f(x) имеет смысл. В данном случае, функция f(x) имеет смысл для всех значений x, кроме x=2, так как в знаменателе дроби присутствует вычитание на 2, и функция не определена при x=2. Поэтому, область определения функции f(x) - это множество всех действительных чисел, за исключением x=2.

Найти точки пересечения с осями координат. Для этого подставим x=0 и y=0 в уравнение функции и решим полученные уравнения относительно x и y соответственно. В данном случае, точки пересечения с осями координат можно найти следующим образом:

Для x-координаты: x = 0
f(0) = 0 + 4/0 - 2
Так как деление на ноль невозможно, то данная точка не определена.

Для y-координаты: f(x) = 0
0 + 4/(x-2) = 0
4 = 0
Уравнение не имеет решений, так как левая и правая части не равны.

Найти производную функции. Для этого возьмем производную функции f(x) по x, используя правила дифференцирования. В данном случае, функция f(x) содержит две функции: x и 4/(x-2), поэтому при дифференцировании мы будем использовать правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования частного. Производная функции f(x) будет выглядеть следующим образом:
f'(x) = (1*(x-2) - x*0)/(x-2)^2
f'(x) = (x-2)/(x-2)^2
f'(x) = 1/(x-2)

Исследовать производную функции на монотонность и наличие экстремумов. Для этого найдем значения x, при которых производная f'(x) равна нулю, и проверим знак производной в интервалах между найденными значениями. Если производная меняет знак с "плюс" на "минус" или наоборот, то это указывает на наличие экстремума. В данном случае, производная f'(x) равна нулю при x=2. Значит, функция f(x) имеет горизонтальную асимптоту в точке x=2. Теперь проверим знак производной в интервалах (-∞, 2) и (2, +∞):

Для интервала (-∞, 2):
Выберем произвольное значение x<2, например, x=1, и подставим в производную:
f'(1) = 1/(1-2) = -1 < 0
Таким образом, на интервале (-∞, 2) производная f'(x) отрицательна, что указывает на убывание функции f(x) на этом интервале.

Для интервала (2, +∞):
Выберем произвольное значение x>2, например, x=3, и подставим в производную:
f'(3) = 1/(3-2) = 1 > 0
Таким образом, на интервале (2, +∞) производная f'(x) положительна, что указывает на возрастание функции f(x) на этом интервале.

Исследовать функцию на наличие точек перегиба. Для этого найдем значения x, при которых производная второго порядка f''(x) равна нулю, и проверим знак второй производной в интервалах между найденными значениями. Если вторая производная меняет знак, то это указывает на наличие точки перегиба. В данном случае, функция f(x) содержит только одну переменную, поэтому производная второго порядка равна производной второго порядка функции f'(x), которую мы уже нашли:
f''(x) = 1/(x-2)^2

Теперь проверим знак второй производной в интервалах (-∞, 2) и (2, +∞):

Для интервала (-∞, 2):
Выберем произвольное значение x<2, например, x=1, и подставим во вторую производную:
f''(1) = 1/(1-2)^2 = 1 > 0
Таким образом, на интервале (-∞, 2) вторая производная f''(x) положительна, что указывает на отсутствие точек перегиба на этом интервале.

Для интервала (2, +∞):
Выберем произвольное значение x>2, например, x=3, и подставим во вторую производную:
f''(3) = 1/(3-2)^2 = 1 > 0
Таким образом, на интервале (2, +∞) вторая производная f''(x) также положительна, что указывает на отсутствие точк прегиба на этом интервале.

Я как понял, тебе не просто ответы нужны, а способы решения. Давай попробуем.

1. Функция не определена для x = 2, так как знаменатель равен нулю. Таким образом, область определения: (-∞, 2) ∪ (2, +∞).
2. Найдем пределы функции:
   Предел слева: lim(x→2-) f(x) = -∞
   Предел справа: lim(x→2+) f(x) = +∞
   Это означает, что у функции вертикальная асимптота x = 2.
   Найдем наклонную асимптоту:
3. lim(x→±∞) f(x) = x / 1 = x
   Таким образом, у функции наклонная асимптота y = x.

Для большей наглядности предоставляю график функции:

https://www.desmos.com/Calculator

Гораздо легче было бы нарисовать это в виде гиперболы.

Представим это выражение в виде 2/(x+2) + 1

Это значит, что мы должны построить гиперболу 2/x и сместить её влево на две клетки, а вверх на одну. Удачи!

Все исследование функции тебе уже написали.