Найдите значения функции f(x) = x+1/x^2+2x+5 в точке максимума

(x) = x + 1 / (x^2 + 2x + 5)
f'(x) = 1 - 2x / (x^2 + 2x + 5)^2
1 - 2x / (x^2 + 2x + 5)^2 = 0
1 = 2x / (x^2 + 2x + 5)^2
2x = (x^2 + 2x + 5)^2
2x = x^4 + 4x^3 + 9x^2 + 20x + 25
x^4 + 4x^3 + 9x^2 + 18x + 25 = 0
(x + 1)^2 * (x^2 + 2x + 25) = 0
Корни уравнения равны x=-1 и x=-1+2i, где i - мнимая единица.
Значение функции в точке максимума будет:
f(-1) = (-1) + 1 / ((-1)^2 + 2*(-1) + 5) = -1/3

как то так

y(x) = x +1/x² + 2*x + 5

Находим производную:
y'(x) = 1 - 2 / x³ + 2 = 3 - 2 / x³

Приравняем производную нулю:
3 - 2 / x³ = 0
x = (2/3)^(1/3) ≈ 0,874

При x < 0,874 f' < 0
При x > 0,874 f' > 0

В точке x = 0,874 - минимум функции

Максимума - нет!

Для нахождения точки максимума функции f(x), следует приравнять к нулю ее производную:

f'(x) = [(x^2 + 2x + 5) - (x+1)(2x+5)]/ (x^2 + 2x + 5)^2 = (x^2 + 2x + 5 - 2x^2 - 7x - 5)/ (x^2 + 2x + 5)^2 = (-x^2-5x)/(x^2+2x+5)^2

Точка максимума соответствует значению x, при котором f'(x) равно нулю или не существует. В данном случае производная не существует при x=0, так как в знаменателе уравнения f'(x) будет получаться 0. Поэтому нужно исследовать функцию в окрестности точки x=0.

Заметим, что f(x) = 1/(x^(-1))+2x^(-1)+5x. Эту функцию можно проанализировать с помощью производной f'(x), где f'(x) = -x^(-2)-2x^(-2)+5.

Точка максимума функции f(x) находится в точке, где производная равна нулю:

f'(x) = 0

-x^(-2)-2x^(-2)+5 = 0

-3x^(-2)+5 = 0

3x^(-2) = 5

x^(-2) = 5/3

x = ±(3/5)^(1/2)

Теперь найдем значение функции f(x) в точке максимума:

f(±(3/5)^(1/2)) = ±(3/5)^(1/2) + 1 / (5/3) + 2*(±(3/5)^(1/2)) + 5

f(±(3/5)^(1/2)) = ±(3/5)^(1/2) + 3/5 + 2*(±(3/5)^(1/2)) + 25/5

f(±(3/5)^(1/2)) = ±(3/5)^(1/2) * (1 + (4/5)) + 20/5

f(±(3/5)^(1/2)) = ±(3/5)^(1/2) * (9/5) + 4

f(±(3/5)^(1/2)) = ±(27/25)^(1/2) + 4

Ответ: значения функции f(x) на максимуме равны ±(27/25)^(1/2) + 4.

5