Найти наибольшее значение функции y=3x^2+2 x-1 на отрезке (-2 ;1)

I. Решение при условии, что функция определена на [-2;1].

y= 3x²+2x-1

У данной функции нет особых точек и она определена на отрезке (определена в конечных точках!) . Наибольшее значение функция может принимать в критических точках, т. е. в точках, в которых производна равна нулю или в конечных точках отрезка.
Находим производную

y'(x)=6x+2

И критическую точку:

y'(x)=0
x=-⅓

(Это может быть локальный мин, макс или ни то, ни другое, это не имеет значения.)

Вычисляем значение функции в критической точке.

y(-⅓)=-4/3

Вычисляем значения функции в конечных точках отрезка:
у (-2)=7
у (1)=4

И среди полученных значений выбираем наибольшее: у_макс = 7

Ответ: Наибольшее значение данной функции на [-2;1] равно 7.

_____________________________________________

II Решение при условии, что там интервал (-2;1), т. е. БЕЗ конечных точек.

У данной функции нет особых точек и она определена на (открытом!) интервале. Поэтому наибольшее значение может принимать только в критических точках, т. е. в точках, в которых производна равна нулю. Находим производную

y'(x)=6x+2

И критическую точку:

y'(x)=0
x=-⅓

Вычисляем значение функции в критической точке.

y(-⅓)=-4/3

Функция не определена в а=-2 и b=1, так что не можем вычислить значений в этих точках, но можем найти пределы:

lim (3x²+2x-1) =7 при х→-2, х>-2
lim (3x²+2x-1) =4 при х→1, х<1

7>-4/3 (и 4>-4/3), так что -4/3 не является наибольшим значением данной функции на (-2;1).

Ответ: Функция не принимает наибольшего значения на данном интервале.

вычислить первую производную и найти экстремальные точки
вычислить вторую производную и проверить знак второй производной в экстремальных точка, и по знаку определить максимум там или минимум или просто перегиб
определившись с точками максимума (их может быть несколько), подставляем точки в функцию и выбираем наибольшее значение
не забываем проверить значение функции на концах отрезка... максимум может быть и там...

Говоришь об отрезке, а пишешь интервал? Так интервал или отрезок? Вопрос не празный, но принципиальный!! А у тебя получается так:
"Если на клетке слона написано "бык" - не верь глазам своим." (Козьма Прутков)

Ну, найти локальный максимум, потом доп. точки, понять как выглядит график на отрезке и его выписать. Или вы предлагаете это кому-то за вас полностью сделать?

Ну ответ вот такой будет: 7 в -2.